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du temps. Il est utile, pour les usages astronomiques, d’avoir sous cette forme les variations séculaires des excentricités et des périhélies des orbites ; on peut facilement les conclure des formules précédentes. En effet, l’équation $e^{2}=h^{2}+l^{2}$ donne $ede=hdh+ldl\,;$ or, en n’ayant égard qu’à l’action de $m',$ on a, par le n’^ 55,

${\begin{aligned}{\frac {dh}{dt}}&=\quad (0,\ 1)l-{\begin{array}{|c|}\hline 0,\ 1\\\hline \end{array}}l',\\{\frac {dl}{dt}}&=-(0,\ 1)h+{\begin{array}{|c|}\hline 0,\ 1\\\hline \end{array}}h',\end{aligned}}$

partant

${\frac {ede}{dt}}={\begin{array}{|c|}\hline 0,\ 1\\\hline \end{array}}(h'l-hl')\,;$

mais on a $h'l-hl'=ee'\sin(\varpi '-\varpi )\,;$ on aura donc

${\frac {de}{dt}}={\begin{array}{|c|}\hline 0,\ 1\\\hline \end{array}}e'\sin(\varpi '-\varpi )\,;$

ainsi, en ayant égard à l’action réciproque des différents corps $m,m',\ldots ,$ on aura

${\begin{aligned}{\frac {de}{dt}}&={\begin{array}{|c|}\hline 0,\ 1\\\hline \end{array}}e'\sin(\varpi '-\varpi )+{\begin{array}{|c|}\hline 0,\ 2\\\hline \end{array}}e''\sin(\varpi ''-\varpi )+\ldots ,\\{\frac {de'}{dt}}&={\begin{array}{|c|}\hline 1,\ 0\\\hline \end{array}}e\sin(\varpi -\varpi ')+{\begin{array}{|c|}\hline 1,\ 2\\\hline \end{array}}e''\sin(\varpi ''-\varpi ')+\ldots ,\\{\frac {de''}{dt}}&={\begin{array}{|c|}\hline 2,\ 0\\\hline \end{array}}e\sin(\varpi -\varpi '')+{\begin{array}{|c|}\hline 2,\ 1\\\hline \end{array}}e'\sin(\varpi '-\varpi '')+\ldots ,\end{aligned}}$

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

L’équation $\operatorname {tang} \varpi ={\frac {h}{l}}$ donne, en la différentiant,

$e^{2}d\varpi =ldh-hdl.$

En n’ayant égard qu’à l’action de $m',$ et substituant pour $dh$ et $dl$ leurs valeurs, on aura

${\frac {e^{2}d\varpi }{dt}}=(0,\ 1)\left(h^{2}+l^{2}\right)-{\begin{array}{|c|}\hline 0,\ 1\\\hline \end{array}}(hh'+ll'),$