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Ce système d’équations est semblable à celui des équations (A) du n^o 55 ; il coïnciderait entièrement avec lui si, dans les équations (A), on changeait $h,l,h',l',\ldots$ en $q,p,q',p',\ldots ,$ et si l’on supposait ${\begin{array}{|c|}\hline 0,\ 1\\\hline \end{array}}=(0,\ 1),$${\begin{array}{|c|}\hline 1,\ 0\\\hline \end{array}}=(1,\ 0),\ldots \,;$ ainsi, l’analyse dont nous avons fait usage dans le n^o 56 pour intégrer les équations (A) s’applique aux équations (C). On supposera donc

${\begin{aligned}q&={\rm {N}}\cos(gt+{\text{ϐ}})+{\rm {N_{1}}}\cos(g_{1}t+{\text{ϐ}}_{1})+{\rm {N_{2}}}\cos(g_{2}t+{\text{ϐ}}_{2})+\ldots ,\\p&={\rm {N}}\sin(gt+{\text{ϐ}})+{\rm {N_{1}}}\sin(g_{1}t+{\text{ϐ}}_{1})+{\rm {N_{2}}}\sin(g_{2}t+{\text{ϐ}}_{2})+\ldots ,\\q'&={\rm {N'}}\cos(gt+{\text{ϐ}})+{\rm {N'_{1}}}\cos(g_{1}t+{\text{ϐ}}_{1})+{\rm {N'_{2}}}\cos(g_{2}t+{\text{ϐ}}_{2})+\ldots ,\\p'&={\rm {N'}}\sin(gt+{\text{ϐ}})+{\rm {N'_{1}}}\sin(g_{1}t+{\text{ϐ}}_{1})+{\rm {N'_{2}}}\sin(g_{2}t+{\text{ϐ}}_{2})+\ldots ,\end{aligned}}$

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

et l’on aura, par le n^o 56, une équation en $g$ du degré $i,$ et dont les diverses racines seront $g,g_{1},g_{2},\ldots .$ Il est facile de voir qu’une de ces racines est nulle ; car il est clair que l’on satisfait aux équations (C) en y supposant $p,p',p'',\ldots$ égaux et constants, ainsi que $q,q',q'',\ldots ,$ ce qui exige que l’une des racines de l’équation en $g$ soit zéro, et ce qui l’abaisse au degré $i-1$. Les arbitraires ${\rm {N,N_{1},N',\ldots ,}}$ ϐ,ϐ_1, … se détermineront par la méthode exposée dans le n^o 56. Enfin on trouvera, par l’analyse du n^o 57,

const.$=\left(p^{2}+q^{2}\right)m{\sqrt {a}}+\left(p'^{2}+q'^{2}\right)m'{\sqrt {a'}}+\ldots \,;$

d’où l’on conclura, comme dans le numéro cité, que les expressions de $p,q,p',q',\ldots$ ne renferment ni arcs de cercle ni exponentielles, lorsque les corps $m,m',m'',\ldots$ circulent dans le même sens, et qu’ainsi l’équation en $g$ a toutes ses racines réelles et inégales

On peut obtenir deux autres intégrales des équations (C). En effet, si l’on multiplie la première de ces équations par $m{\sqrt {a}}$, la troisième par $m'{\sqrt {a'}},$ la cinquième par $m''{\sqrt {a''}},\ldots ,$ on aura, en vertu des relations trouvées dans le n^o 55,

$0={\frac {dq}{dt}}m{\sqrt {a}}+{\frac {dq'}{dt}}m'{\sqrt {a'}}+\ldots ,$