Ce système d’équations est semblable à celui des équations (A) du no 55 ; il coïnciderait entièrement avec lui si, dans les équations (A), on changeait
en
et si l’on supposait ![{\displaystyle {\begin{array}{|c|}\hline 0,\ 1\\\hline \end{array}}=(0,\ 1),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b5d9ec854b43d37d289e14abcca9bebfc268c81)
ainsi, l’analyse dont nous avons fait usage dans le no 56 pour intégrer les équations (A) s’applique aux équations (C). On supposera donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}q&={\rm {N}}\cos(gt+{\text{ϐ}})+{\rm {N_{1}}}\cos(g_{1}t+{\text{ϐ}}_{1})+{\rm {N_{2}}}\cos(g_{2}t+{\text{ϐ}}_{2})+\ldots ,\\p&={\rm {N}}\sin(gt+{\text{ϐ}})+{\rm {N_{1}}}\sin(g_{1}t+{\text{ϐ}}_{1})+{\rm {N_{2}}}\sin(g_{2}t+{\text{ϐ}}_{2})+\ldots ,\\q'&={\rm {N'}}\cos(gt+{\text{ϐ}})+{\rm {N'_{1}}}\cos(g_{1}t+{\text{ϐ}}_{1})+{\rm {N'_{2}}}\cos(g_{2}t+{\text{ϐ}}_{2})+\ldots ,\\p'&={\rm {N'}}\sin(gt+{\text{ϐ}})+{\rm {N'_{1}}}\sin(g_{1}t+{\text{ϐ}}_{1})+{\rm {N'_{2}}}\sin(g_{2}t+{\text{ϐ}}_{2})+\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55532e84b8648a181e4debe52ec6a1dc9c2a0535)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
et l’on aura, par le no 56, une équation en
du degré
et dont les diverses racines seront
Il est facile de voir qu’une de ces racines est nulle ; car il est clair que l’on satisfait aux équations (C) en y supposant
égaux et constants, ainsi que
ce qui exige que l’une des racines de l’équation en
soit zéro, et ce qui l’abaisse au degré
. Les arbitraires
ϐ,ϐ_1, … se détermineront par la méthode exposée dans le no 56. Enfin on trouvera, par l’analyse du no 57,
const.
![{\displaystyle =\left(p^{2}+q^{2}\right)m{\sqrt {a}}+\left(p'^{2}+q'^{2}\right)m'{\sqrt {a'}}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/962ae328d3d9d3f36baeb05326b4ef61f80a1d59)
d’où l’on conclura, comme dans le numéro cité, que les expressions de
ne renferment ni arcs de cercle ni exponentielles, lorsque les corps
circulent dans le même sens, et qu’ainsi l’équation en
a toutes ses racines réelles et inégales
On peut obtenir deux autres intégrales des équations (C). En effet, si l’on multiplie la première de ces équations par
, la troisième par
la cinquième par
on aura, en vertu des relations trouvées dans le no 55,
![{\displaystyle 0={\frac {dq}{dt}}m{\sqrt {a}}+{\frac {dq'}{dt}}m'{\sqrt {a'}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d2fbff6bc8d3f9c65b26e6cc169a2460a006752)