Cette équation ayant lieu, quels que soient et , il en résulte que doit être égal à une constante, quel que soit et qu’ainsi or on a, par ce qui précède,
d’où l’on tire
on a donc
ce qui donne, en intégrant, et par conséquent la loi de la nature.
13. Reprenons l’équation (C) du no 11. Si l’on pouvait intégrer généralement cette équation, on aurait une expression de qui renfermerait deux fonctions arbitraires, que l’on déterminerait en cherchant l’attraction du sphéroïde sur un point situé dans une position qui facilite cette recherche, et en comparant cette attraction à son expression générale. Mais l’intégration de l’équation (C) n’est possible que dans quelques cas particuliers, tels que celui où le sphéroïde attirant est une sphère, ce qui réduit cette équation aux différences ordinaires ; elle est encore possible dans le cas où ce sphéroïde est un cylindre dont la base est une courbe rentrante, et dont la longueur est infinie : on verra, dans le troisième Livre, que ce cas particulier renferme la théorie des anneaux de Saturne.
Fixons l’origine des sur l’axe même du cylindre, que nous supposerons d’une longueur infinie de chaque côté de cette origine. En nommant la distance du point attiré à l’axe, on aura
Il est visible que ne dépend que de et de puisqu’il est le même pour tous les points relativement auxquels ces deux variables sont les mêmes ; il ne renferme donc qu’autant que est fonction de cette
