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On a par le n^o 46, en négligeant les carrés et les produits des inclinaisons des orbites,

${\begin{aligned}{\rm {R}}&={\frac {m'r}{r'^{2}}}\cos(v'-v)-m'\left[r^{2}-2rr'\cos(v'-v)+r'^{2}\right]^{-{\frac {1}{2}}}\\\\&+{\frac {m''r}{r''^{2}}}\cos(v''-v)-m''\left[r^{2}-2rr''\cos(v''-v)+r''^{2}\right]^{-{\frac {1}{2}}}.\end{aligned}}$

Si l’on développe cette fonction dans une série ordonnée par rapport aux cosinus de $v'-v,$ de $v''-v$ et de leurs multiples, on aura une expression de cette forme

${\begin{aligned}&{\rm {R}}={\frac {m'}{2}}(r,r')^{(0)}+m'(r,r')^{(1)}\cos(v'-v)+m'(r,r')^{(2)}\cos 2(v'-v)\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +m'(r,r')^{(3)}\cos 3(v'-v)+\ldots \\&+{\frac {m''}{2}}(r,r'')^{(0)}+m''(r,r'')^{(1)}\cos(v''-v)+m''(r,r'')^{(2)}\cos 2(v''-v)\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +m''(r,r'')^{(3)}\cos 3(v''-v)+\ldots \end{aligned}}$

d’où l’on tire

${\begin{aligned}d{\rm {R}}&=dr\left[{\frac {m'}{2}}{\frac {\partial (r,r')^{(0)}}{\partial r}}+m'{\frac {\partial (r,r')^{(1)}}{\partial r}}\cos(v'-v)\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +m'{\frac {\partial (r,r')^{(2)}}{\partial r}}\cos 2(v'-v)+\ldots \\&\quad +{\frac {m''}{2}}{\frac {\partial (r,r'')^{(0)}}{\partial r}}+m''{\frac {\partial (r,r'')^{(1)}}{\partial r}}\cos(v''-v)\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.+m''{\frac {\partial (r,r'')^{(2)}}{\partial r}}\cos 2(v''-v)+\ldots \right]\\&+dv\left[m'(r,r')^{(1)}\sin(v'-v)+2m'(r,r')^{(2)}\sin 2(v'-v)+\ldots \right.\\&\qquad \left.+m''(r,r'')^{(1)}\sin(v''-v)+2m''(r,r'')^{(2)}\sin 2(v''-v)+\ldots \right]\end{aligned}}$

Supposons, conformément à ce que les observations indiquent dans le système des trois premiers satellites de Jupiter, que $n'-2n''$ et $n'-2n''$ soient des fractions très-petites de $n,$ et que leur différence $(n-2n')-(n'-2n'')$ ou $n-3n'+2n''$ soit incomparablement plus petite que chacune d’elles. Il résulte des expressions de ${\frac {\delta r}{a}}$ et de $\delta v$ du n^o 50 que l’action de $m'$ produit dans le rayon vecteur et dans la longitude de $m$ une inégalité très-sensible, dépendant de l’argument $2(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon ).$ Les termes relatifs à cette inégalité ont pour diviseur $4(n'-n)^{2}-n^{2}$ ou $(n-2n')(3n-2n'),$ et ce diviseur est très-petit, à raison de la petitesse du facteur $n-2n'.$ On voit encore, par la considération des mêmes expressions, que l’action de $m$