Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 1.djvu/376

rapport à ce plan,

${\frac {xdy-ydx}{dt}}=\cos \varphi {\sqrt {a\left(1-e^{2}\right)}}={\sqrt {\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{1+\operatorname {tang} ^{2}\varphi }}}\,;$

on aura pareillement

${\frac {x'dy'-y'dx'}{dt}}={\sqrt {\frac {a'\left(1-e'^{2}\right)}{1+\operatorname {tang} ^{2}\varphi '}}}\,;$

Ces valeurs de $xdy-ydx,\ x'dy'-y'dx',\ldots$ peuvent être employées lorsque l’on fait abstraction des inégalités du mouvement des planètes, pourvu que l’on considère les éléments $e,e',\ldots ,\varphi ,\varphi ',\ldots$ comme variables en vertu des inégalités séculaires ; l’équation (4) du n^o 9 donnera donc alors

$c=m{\sqrt {\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{1+\operatorname {tang} ^{2}\varphi }}}+m'{\sqrt {\frac {a'\left(1-e'^{2}\right)}{1+\operatorname {tang} ^{2}\varphi '}}}+\ldots$

$\Sigma mm'{\frac {(x'-x)(dy'-dy)-(y'-y)(dx'-dx)}{dt}}.$

En négligeant ce dernier terme, qui reste toujours de l’ordre $mm',$ on aura

$c=m{\sqrt {\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{1+\operatorname {tang} ^{2}\varphi }}}+m'{\sqrt {\frac {a'\left(1-e'^{2}\right)}{1+\operatorname {tang} ^{2}\varphi '}}}+\ldots$

Ainsi, quels que soient les changements que la suite des temps apporte aux valeurs de $e,e',\ldots ,\varphi ,\varphi ',\ldots$ en vertu des variations séculaires, ces valeurs doivent toujours satisfaire à l’équation précédente.

Si l’on néglige les quantités très-petites de l’ordre $e^{4}$ ou $e^{2}\varphi ^{2},$ cette équation donnera

$c=m{\sqrt {a}}+m'{\sqrt {a'}}+\ldots -{\frac {1}{2}}m{\sqrt {a}}\left(e^{2}+\operatorname {tang} ^{2}\varphi \right)$

$-{\frac {1}{2}}m'{\sqrt {a'}}\left(e'^{2}+\operatorname {tang} ^{2}\varphi '\right)-\ldots ,$

et par conséquent, si l’on néglige les carrés de $e,e',\varphi ,\ldots ,$ on aura $m{\sqrt {a}}+m'{\sqrt {a'}}+\ldots$ constant. On a vu précédemment que, si l’on n’a égard qu’à la première puissance de la force perturbatrice, $a,a',\ldots$ sont constants séparément ; l’équation précédente donnera donc, en négligeant les quantités très-petites de l’ordre $e^{4}$ ou $e^{2}\varphi ^{2},$

const.$=m{\sqrt {a}}\left(e^{2}+\operatorname {tang} ^{2}\varphi \right)+{\frac {1}{2}}m'{\sqrt {a'}}\left(e'^{2}+\operatorname {tang} ^{2}\varphi '\right)+\ldots$