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PREMIÈRE PARTIE. — LIVRE I.

rentielles du premier ordre

${\begin{aligned}&xdx+ydy=-zdz,\\&xdy-ydx=c'dt,\\&{\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}}=c+2gz.\end{aligned}}$

En élevant chaque membre des deux premières au carré et en les ajoutant, on aura

$\left(x^{2}+y^{2}\right)\left(dx^{2}+dy^{2}\right)=c'^{2}dt^{2}+z^{2}dz^{2}$

si l’on substitue au lieu de $x^{2}+y^{2}$ sa valeur $r^{2}-z^{2}$ et au lieu de ${\frac {dx^{2}+dy^{2}}{dt^{2}}}$ sa valeur $c+2gz-{\frac {dz^{2}}{dt^{2}}},$ on aura, en supposant que le corps s’éloigne de la verticale,

$dt={\frac {-rdz}{\sqrt {\left(r^{2}-z^{2}\right)\left(c+2gz\right)-c'^{2}}}}.$

La fonction sous le radical peut être mise sous la forme

$\left(a-z\right)\left(z-b\right)\left(2gz+f\right),$

$a,\ b,\ f$ étant déterminés par les équations

${\begin{aligned}&f={\frac {2g\left(r^{2}+ab\right)}{a+b}},\\&c={\frac {2g(r^{2}-a^{2}-ab-b^{2})}{a+b}},\\&c'^{2}={\frac {2g\left(r^{2}-a^{2}\right)\left(r^{2}-b^{2}\right)}{a+b}}.\end{aligned}}$

On peut ainsi substituer aux arbitraires $c$ et $c'$ les nouvelles arbitraires $a$ et $b,$ dont la première est la plus grande valeur de $z,$ et dont la seconde est la plus petite valeur. En faisant ensuite

$\sin \theta ={\sqrt {\frac {a-z}{a-b}}},$