rentielles du premier ordre
![{\displaystyle {\begin{aligned}&xdx+ydy=-zdz,\\&xdy-ydx=c'dt,\\&{\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}}=c+2gz.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee8ba3da8fc71c8d6fc27ba6f6149f83922798df)
En élevant chaque membre des deux premières au carré et en les ajoutant, on aura
![{\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)\left(dx^{2}+dy^{2}\right)=c'^{2}dt^{2}+z^{2}dz^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9cfe77e4ad807562676c66f0ed951fb0b267675)
si l’on substitue au lieu de
sa valeur
et au lieu de
sa valeur
on aura, en supposant que le corps s’éloigne de la verticale,
![{\displaystyle dt={\frac {-rdz}{\sqrt {\left(r^{2}-z^{2}\right)\left(c+2gz\right)-c'^{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e8222b888ddad191bdd53d51e23486cc9dabc0e)
La fonction sous le radical peut être mise sous la forme
![{\displaystyle \left(a-z\right)\left(z-b\right)\left(2gz+f\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e39ef68dcff7de1187e1339829af714c4d316af)
étant déterminés par les équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}&f={\frac {2g\left(r^{2}+ab\right)}{a+b}},\\&c={\frac {2g(r^{2}-a^{2}-ab-b^{2})}{a+b}},\\&c'^{2}={\frac {2g\left(r^{2}-a^{2}\right)\left(r^{2}-b^{2}\right)}{a+b}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7eae2e05384ff245b52620bcf3a855aafd16500a)
On peut ainsi substituer aux arbitraires
et
les nouvelles arbitraires
et
dont la première est la plus grande valeur de
et dont la seconde est la plus petite valeur. En faisant ensuite
![{\displaystyle \sin \theta ={\sqrt {\frac {a-z}{a-b}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1e0695af646fe412d1c045f29521f17bb31a035)