Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 1.djvu/195

Cette masse est égale à $4\pi u^{2}du,$ et, si elle était réunie à son centre, son action sur le point attiré serait $4\pi u^{2}du\varphi (r)\,;$ on aura donc

(D)

$2\pi udu{\frac {\partial .{\frac {1}{r}}\left[\psi (r+u)-\psi (r-u)\right]}{\partial r}}=4\pi u^{2}du\varphi (r)\,;$

en intégrant par rapport à $r,$ on aura

$\psi (r+u)-\psi (r-u)=2ru\int dr\varphi (r)+r\mathrm {U} ,$

${\rm {U}}$ étant une fonction de $u$ et de constantes, ajoutée à l’intégrale $2u\int dr\varphi (r).$ Si l’on représente $\psi (r+u)-\psi (r-u)$ par $\mathrm {R} ,$ on aura, en différentiant l’équation précédente,

${\frac {\partial ^{2}\mathrm {R} }{\partial r^{2}}}=4u\varphi (r)+2ru{\frac {d\varphi (r)}{dr}},\qquad {\frac {\partial ^{2}\mathrm {R} }{\partial u^{2}}}=r{\frac {\partial ^{2}\mathrm {U} }{\partial u^{2}}}\,;$

mais on a, par la nature de la fonction $\mathrm {R} ,$

${\frac {\partial ^{2}\mathrm {R} }{\partial r^{2}}}={\frac {\partial ^{2}\mathrm {R} }{\partial u^{2}}},$

partant

$2u\left(2\varphi (r)+r{\frac {d\varphi (r)}{dr}}\right)=r{\frac {\partial ^{2}\mathrm {U} }{\partial u^{2}}},$

ou

${\frac {2\varphi (r)}{r}}+{\frac {d\varphi (r)}{dr}}={\frac {1}{2u}}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {U} }{\partial u^{2}}}.$

Ainsi, le premier membre de cette équation étant indépendant de $u,$ et le second membre étant indépendant de $r,$ chacun de ces membres doit être égal à une constante arbitraire, que nous désignerons par $3\mathrm {A} \,;$ on a donc

${\frac {2\varphi (r)}{r}}+{\frac {d\varphi (r)}{dr}}=3\mathrm {A} ,$

d’où l’on tire, en intégrant,

$\varphi (r)=\mathrm {A} r+{\frac {\mathrm {B} }{r^{2}}},$