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on aura

$\mathrm {T} =2a^{\frac {3}{2}}\left({\text{ϐ}}-e\sin {\text{ϐ}}\cos {\text{ϐ}}'\right).$

Si l’on ajoute l’une à l’autre les deux expressions de $r$ et de $r'$ en $u$ et $u',$ et si l’on observe que

$\cos u'+\cos u=2\cos {\text{ϐ}}\cos {\text{ϐ}}',$

on aura

$R=2a(1-e\cos {\text{ϐ}}\cos {\text{ϐ}}').$

Maintenant soit $c$ la corde de l’arc elliptique ; on a

$c^{2}=r^{2}+r'^{2}-2rr'\cos(v-v')\,;$

mais les deux équations

$r={\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{1+e\cos v}},\qquad r=a(1-e\cos u)$

donnent celles-ci

$\cos v=a{\frac {\cos u-e}{r}},\qquad \sin v={\frac {a{\sqrt {1-e^{2}}}\sin u}{r}}.$

On a pareillement

$\cos v'=a{\frac {\cos u'-e}{r'}},\qquad \sin v'={\frac {a{\sqrt {1-e^{2}}}\sin u'}{r'}}\,;$

on aura donc

$rr'\cos(v-v')=a^{2}(e-\cos u)(e-\cos u')+a^{2}\left(1-e^{2}\right)\sin u\sin u',$

et par conséquent

$c^{2}=2a^{2}\left(1-e^{2}\right)(1-\sin u\sin u'-\cos u\cos u')+a^{2}e^{2}(\cos u-\cos u')^{2}\,;$

or on a

$\sin u\sin u'+\cos u\cos u'=2\cos ^{2}{\text{ϐ}}-1,$

$\cos u-\cos u'=2\sin {\text{ϐ}}\sin {\text{ϐ}}'\,;$

partant

$c^{2}=4a^{2}\sin ^{2}{\text{ϐ}}\left(1-e^{2}\cos ^{2}{\text{ϐ}}'\right)\,;$