En substituant pour
leurs valeurs données par les équations (C) du numéro précédent, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\varphi '_{1}}{dt}}&=\left[(1,\ 2)-(0,\ 2)\right]\operatorname {tang} \varphi ''\sin(\theta '-\theta '')\\&+\left[(1,\ 3)-(0,\ 3)\right]\operatorname {tang} \varphi '''\sin(\theta '-\theta ''')+\ldots ,\\{\frac {d\theta '_{1}}{dt}}&=-\left[(1,\ 0)+(1,\ 2)+(1,\ 3)+\ldots \right]-(0,\ 1)\\&+\left[(1,\ 2)-(0,\ 2)\right]{\frac {\operatorname {tang} \varphi ''}{\operatorname {tang} \varphi '}}\cos(\theta '-\theta '')\\&+\left[(1,\ 3)-(0,\ 3)\right]{\frac {\operatorname {tang} \varphi '''}{\operatorname {tang} \varphi '}}\cos(\theta '-\theta ''')+\ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ab7fe09c583eafda797cc1962c3289c30a5bcf4)
Il est facile de conclure de ces expressions les variations des nœuds et des inclinaisons des orbites des autres corps
sur l’orbite mobile de
61. Les intégrales trouvées précédemment des équations différentielles qui déterminent les variations des éléments des orbites ne sont qu’approchées, et les relations qu’elles donnent entre tous ces éléments n’ont lieu qu’en supposant les excentricités des orbites et leurs inclinaisons fort petites. Mais les intégrales (4), (5), (6) et (7), auxquelles nous sommes parvenus dans le no 9, donnent ces mêmes rapports, quelles que soient les excentricités et les inclinaisons. Pour cela, nous observerons que
est le double de l’aire décrite durant l’instant
par la projection du rayon vecteur de la planète
sur le plan des
et des
. Dans le mouvement elliptique, si l’on néglige la masse de la planète vis-à-vis de celle du Soleil, prise pour unité, on a, par les no 19 et 20, relativement au plan de l’orbite de
![{\displaystyle {\frac {xdy-ydx}{dt}}={\sqrt {a\left(1-e^{2}\right)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/212836de3d4bc2fdbc0d817a71cc719cfb4d285b)
Pour rapporter au plan fixe l’aire sur l’orbite, il faut la multiplier par le cosinus de l’inclinaison
de l’orbite à ce plan ; on aura donc, par