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En substituant pour $dp,dq,dp',dq',\ldots$ leurs valeurs données par les équations (C) du numéro précédent, on aura

${\begin{aligned}{\frac {d\varphi '_{1}}{dt}}&=\left[(1,\ 2)-(0,\ 2)\right]\operatorname {tang} \varphi ''\sin(\theta '-\theta '')\\&+\left[(1,\ 3)-(0,\ 3)\right]\operatorname {tang} \varphi '''\sin(\theta '-\theta ''')+\ldots ,\\{\frac {d\theta '_{1}}{dt}}&=-\left[(1,\ 0)+(1,\ 2)+(1,\ 3)+\ldots \right]-(0,\ 1)\\&+\left[(1,\ 2)-(0,\ 2)\right]{\frac {\operatorname {tang} \varphi ''}{\operatorname {tang} \varphi '}}\cos(\theta '-\theta '')\\&+\left[(1,\ 3)-(0,\ 3)\right]{\frac {\operatorname {tang} \varphi '''}{\operatorname {tang} \varphi '}}\cos(\theta '-\theta ''')+\ldots \end{aligned}}$

Il est facile de conclure de ces expressions les variations des nœuds et des inclinaisons des orbites des autres corps $m'',m''',\ldots$ sur l’orbite mobile de $m.$

61. Les intégrales trouvées précédemment des équations différentielles qui déterminent les variations des éléments des orbites ne sont qu’approchées, et les relations qu’elles donnent entre tous ces éléments n’ont lieu qu’en supposant les excentricités des orbites et leurs inclinaisons fort petites. Mais les intégrales (4), (5), (6) et (7), auxquelles nous sommes parvenus dans le n^o 9, donnent ces mêmes rapports, quelles que soient les excentricités et les inclinaisons. Pour cela, nous observerons que ${\frac {xdy-ydx}{dt}}$ est le double de l’aire décrite durant l’instant $dt$ par la projection du rayon vecteur de la planète $m$ sur le plan des $x$ et des $y$. Dans le mouvement elliptique, si l’on néglige la masse de la planète vis-à-vis de celle du Soleil, prise pour unité, on a, par les n^o 19 et 20, relativement au plan de l’orbite de $m,$

${\frac {xdy-ydx}{dt}}={\sqrt {a\left(1-e^{2}\right)}}.$

Pour rapporter au plan fixe l’aire sur l’orbite, il faut la multiplier par le cosinus de l’inclinaison $\varphi$ de l’orbite à ce plan ; on aura donc, par