Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 1.djvu/268

Pour cela, supposons que $\alpha$ et $\theta$ représentent la longitude et la latitude géocentrique de l’observation intermédiaire ; si l’on substitue dans les équations (k) du numéro précédent, au lieu de $x,y,z,$ leurs valeurs $x'+\rho \cos \alpha ,\ y'+\rho \sin \alpha$ et $\pi \operatorname {tang} \theta ,$ elles donneront $\left({\frac {d^{2}\rho }{dt^{2}}}\right),\left({\frac {d^{2}\alpha }{dt^{2}}}\right)$ et $\left({\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}\right)$ en fonction de $\rho ,\alpha$ et $\theta$, de leurs premières différences et des quantités connues. Si l’on différentie ces fonctions, on aura $\left({\frac {d^{3}\rho }{dt^{3}}}\right),$$\left({\frac {d^{3}\alpha }{dt^{3}}}\right)$ et $\left({\frac {d^{3}\theta }{dt^{3}}}\right)$ en fonction de $\rho ,\alpha ,\theta$ et de leurs premières et secondes différences. On pourra en éliminer la seconde différence de $\rho$ au moyen de sa valeur, et sa première différence au moyen de l’équation (2) du numéro précédent. En continuant de différentier successivement les valeurs de $\left({\frac {d^{3}\alpha }{dt^{3}}}\right),\left({\frac {d^{3}\theta }{dt^{3}}}\right)$ et en éliminant les différences de $\alpha$ et de $\theta$ supérieures aux secondes différences, et toutes les différences de $\rho ,$ on aura les valeurs de $\left({\frac {d^{3}\alpha }{dt^{3}}}\right),\left({\frac {d^{4}\alpha }{dt^{4}}}\right),\ldots ,$$\left({\frac {d^{3}\theta }{dt^{3}}}\right),\left({\frac {d^{4}\theta }{dt^{4}}}\right),\ldots ,$ en fonction de $\rho ,\alpha ,\left({\frac {d\alpha }{dt}}\right),\left({\frac {d^{2}\alpha }{dt^{2}}}\right),$$\theta ,\left({\frac {d\theta }{dt}}\right),$$\left({\frac {d^{2}\alpha }{dt^{2}}}\right).$ Cela posé :

Soient $\alpha _{1},\alpha ,\alpha '$ les trois longitudes géocentriques observées de la comète ; $\theta _{1},\theta ,\theta '$ ses trois latitudes géocentriques correspondantes ; soient $i$ le nombre des jours qui séparent la première de la seconde observation, et $i'$ celui des jours qui séparent la seconde observation de la troisième ; enfin, soit $\lambda$ l’arc que la Terre décrit dans un jour par son moyen mouvement sidéral ; on aura, par le n^o 29,

${\begin{alignedat}{3}\alpha _{1}&=\alpha &-i\lambda \left({\frac {d\alpha }{dt}}\right)&+{\frac {i^{2}\lambda ^{2}}{1.2}}\left({\frac {d^{2}\alpha }{dt^{2}}}\right)&-{\frac {i^{3}\lambda ^{3}}{1.2.3}}\left({\frac {d^{3}\alpha }{dt^{3}}}\right)&+\ldots ,\\\\\alpha '&=\alpha &+i'\lambda \left({\frac {d\alpha }{dt}}\right)&+{\frac {i'^{2}\lambda ^{2}}{1.2}}\left({\frac {d^{2}\alpha }{dt^{2}}}\right)&+{\frac {i'^{3}\lambda ^{3}}{1.2.3}}\left({\frac {d^{3}\alpha }{dt^{3}}}\right)&+\ldots ,\\\\\theta _{1}&=\theta &-i\lambda \left({\frac {d\theta }{dt}}\right)&+{\frac {i^{2}\lambda ^{2}}{1.2}}\left({\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}\right)&-{\frac {i^{3}\lambda ^{3}}{1.2.3}}\left({\frac {d^{3}\theta }{dt^{3}}}\right)&+\ldots ,\\\\\theta '&=\theta &+i'\lambda \left({\frac {d\theta }{dt}}\right)&+{\frac {i'^{2}\lambda ^{2}}{1.2}}\left({\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}\right)&+{\frac {i'^{3}\lambda ^{3}}{1.2.3}}\left({\frac {d^{3}\theta }{dt^{3}}}\right)&+\ldots \end{alignedat}}$