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La somme de ces trois équations, multipliées respectivement par $dx,dy,dz,$ donne, en l’intégrant,

(Q)

0={\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}}-{\frac {2\mu }{r}}+{\frac {\mu }{a}}+2\int \operatorname {d} {\rm {R,}}

la différentielle $d\mathrm {R}$ étant uniquement relative aux coordonnées $x,y,z$ du corps $m,$ et $a$ étant une constante arbitraire qui, lorsque ${\rm {R}}$ est nul, devient, par les n^o 18 et 19, le demi-grand axe de l’ellipse décrite par $m$ autour de ${\rm {{M}.}}$

Les équations (P), multipliées respectivement par $x,y,z$ , et ajoutées à l’intégrale (Q), donneront

(R)

0={\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}.r^{2}}{dt^{2}}}-{\frac {\mu }{r}}+{\frac {\mu }{a}}+2\int d\mathrm {R} +x{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}}+y{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}+z{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial z}}.

Maintenant on peut concevoir les masses perturbatrices $m',m'',\ldots$ multipliées par un coefficient $\alpha ,$ et alors la valeur de $r$ sera fonction du temps $t$ et de $\alpha .$ Si l’on développe cette fonction par rapport aux puissances de $\alpha ,$ et que l’on fasse $\alpha =1$ après ce développement, elle sera ordonnée par rapport aux puissances et aux produits des masses perturbatrices. Désignons par la caractéristique $\delta ,$ placée devant une quantité, la différentielle de cette quantité, prise par rapport à $\alpha$ et divisée par $d\alpha .$ Lorsque l’on aura déterminé $\delta r$ dans une suite ordonnée par rapport aux puissances de $\alpha ,$ on aura le rayon $r$ en multipliant cette suite par $d\alpha ,$ en l’intégrant ensuite par rapport à $\alpha ,$ et en ajoutant à cette intégrale une fonction de $t$ indépendante de $\alpha ,$ fonction qui est évidemment la valeur de $r$ dans le cas où les forces perturbatrices sont nulles et où le corps $m$ décrit une section conique. La détermination de $r$ se réduit donc à former et à intégrer l’équation différentielle qui détermine $\delta r.$

Pour cela, reprenons l’équation différentielle (R), et faisons, pour plus de simplicité,

x{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}}+y{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}+z{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial z}}=r\mathrm {R} '\,;