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pour ${\rm {V}}$ dans cette équation, la rend identiquement nulle devient, en l’égalant à une constante arbitraire, une intégrale du premier ordre des équations (O).

Supposons

${\rm {{V=U+U'+U''}+\ldots ,}}$

${\rm {U}}$ étant fonction des trois variables $x,y,z\,;\ {\rm {{U}'}}$ étant fonction des six variables $x,y,z,x',y',z'$, mais du premier ordre relativement à $x',y',z'\,;\ U''$ étant fonction des mêmes variables, et du second ordre relativement à $x',y',z'$ ; et ainsi de suite. Substituons cette valeur dans l’équation (I), et comparons séparément : 1^o les termes sans $x',y',z'\,;$ 2^o ceux qui renferment la première puissance de ces variables ; 3^o ceux qui renferment leurs carrés et leurs produits, et ainsi de suite ; nous aurons

(I')

$\left\{{\begin{alignedat}{1}0=x{\frac {\partial {\rm {{U}'}}}{\partial x'}}&+y{\frac {\partial {\rm {{U}'}}}{\partial y'}}+z{\frac {\partial {\rm {{U}'}}}{\partial z'}},\\\\x'{\frac {\partial {\rm {U}}}{\partial x}}+y'{\frac {\partial {\rm {U}}}{\partial y}}+z'{\frac {\partial {\rm {U}}}{\partial z}}&={\frac {\mu }{r^{3}}}\left(x{\frac {\partial {\rm {{U}''}}}{\partial x'}}+y{\frac {\partial {\rm {{U}''}}}{\partial y'}}+z{\frac {\partial {\rm {{U}''}}}{\partial z'}}\right),\\\\x'{\frac {\partial {\rm {U'}}}{\partial x}}+y'{\frac {\partial {\rm {{U}'}}}{\partial y}}+z'{\frac {\partial {\rm {{U}'}}}{\partial z}}&={\frac {\mu }{r^{3}}}\left(x{\frac {\partial {\rm {{U}'''}}}{\partial x'}}+y{\frac {\partial {\rm {{U}'''}}}{\partial y'}}+z{\frac {\partial {\rm {{U}'''}}}{\partial z'}}\right),\\\\x'{\frac {\partial {\rm {{U}''}}}{\partial x}}+y'{\frac {\partial {\rm {{U}''}}}{\partial y}}+z'{\frac {\partial {\rm {{U}''}}}{\partial z}}&={\frac {\mu }{r^{3}}}\left(x{\frac {\partial {\rm {{U}^{iv}}}}{\partial x'}}+y{\frac {\partial {\rm {{U}^{iv}}}}{\partial y'}}+z{\frac {\partial {\rm {{U}^{iv}}}}{\partial z'}}\right),\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{alignedat}}\right.$

L’intégrale de la première de ces équations est, comme l’on sait par la théorie des équations à différences partielles,

${\rm {{U'=fonct}.(xy'-yx',xz'-zx',yz'-zy',x,y,z).}}$

La valeur de ${\rm {U'}}$ devant être linéaire en $x',y',z',$ nous la supposerons de cette forme

${\rm {{U'=A}(xy'-yx')+{\rm {{B}(xz'-zx')+{\rm {{C}(yz'-zy'),}}}}}}$

${\rm {A,B,C}}$ étant des constantes arbitraires. Arrêtons ensuite la valeur de ${\rm {V}}$ au terme ${\rm {{U}'',}}$ en sorte que ${\rm {{U}''',{\rm {{U}^{iv},\ldots }}}}$ soient nuls ; la troisième des