59. Considérons présentement les équations relatives à la position des orbites. Reprenons pour cela les équations (3) et (4) du no 53,
![{\displaystyle {\frac {dp}{dt}}=-{\frac {m'n}{4}}a^{2}a'{\rm {B}}^{(1)}(q-q'),\qquad {\frac {dq}{dt}}={\frac {m'n}{4}}a^{2}a'{\rm {B}}^{(1)}(p-p').}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4e557888fe3e6da641f5c3946416643517031df)
On a, par le no 49,
![{\displaystyle a^{2}a'{\rm {B}}^{(1)}=\alpha ^{2}b_{\frac {3}{2}}^{(1)}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee7a65dc13627741bdd4c37750a067c809f64c87)
on a ensuite, par le même numéro,
![{\displaystyle b_{\frac {3}{2}}^{(1)}=-{\frac {3b_{-{\frac {1}{2}}}^{(1)}}{\left(1-\alpha ^{2}\right)^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/698bb5b039e594e89040ed8f870adaddbdc8cea3)
on aura donc
![{\displaystyle {\frac {m'n}{4}}a^{2}a'{\rm {B}}^{(1)}=-{\frac {3m'n\alpha ^{2}b_{-{\frac {1}{2}}}^{(1)}}{4\left(1-\alpha ^{2}\right)^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7784cd21f6001215f127baa2aca832acc0787a09)
Le second membre de cette équation est ce que nous avons désigné par
dans le no 55; on aura ainsi
![{\displaystyle {\frac {dp}{dt}}=(0,\ 1)(q-q'),\qquad {\frac {dq}{dt}}=(0,\ 1)(p-p').}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2186571952aa8527ddb73585e98781216f4dc3f5)
De là il est aisé de conclure que les valeurs de
seront déterminées par le système suivant d’équations différentielles
![{\displaystyle {\rm {(C)}}\ \left\{{\begin{aligned}{\frac {dq}{dt}}&=\ \ \left[(0,\ 1)+(0,\ 2)+\ldots \right]p-(0,\ 1)p'-(0,\ 2)p''-\ldots ,\\{\frac {dp}{dt}}&=-\left[(0,\ 1)+(0,\ 2)+\ldots \right]q+(0,\ 1)q'+(0,\ 2)q''+\ldots ,\\{\frac {dq'}{dt}}&=\ \ \left[(1,\ 0)+(1,\ 2)+\ldots \right]p'-(1,\ 0)p-(1,\ 2)p''-\ldots ,\\{\frac {dp'}{dt}}&=-\left[(1,\ 0)+(1,\ 2)+\ldots \right]q'+(1,\ 0)q+(1,\ 2)q''+\ldots ,\\{\frac {dq''}{dt}}&=\ \ \left[(2,\ 0)+(2,\ 1)+\ldots \right]p''-(2,\ 0)p-(2,\ 1)p'-\ldots ,\\{\frac {dp''}{dt}}&=-\left[(2,\ 0)+(2,\ 1)+\ldots \right]q''+(2,\ 0)q+(2,\ 1)q'+\ldots ,\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd9fdeee0850bd96d278070e13c1f285fa37a2e)