on aura donc, par le no 7,
![{\displaystyle \mathrm {P} =-{\text{ϐ}}\cdot {\frac {dx}{dt}},\qquad \mathrm {Q} =-{\text{ϐ}}\cdot {\frac {dy}{dt}},\qquad \mathrm {R} =-{\text{ϐ}}\cdot {\frac {dz}{dt}}+g,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb79113ab5652d9131ee1736febf348ff4723b39)
et l’équation
devient
![{\displaystyle 0=\delta x\left(d{\frac {dx}{dt}}+{\text{ϐ}}{\frac {dx}{ds}}dt\right)+\delta y\left(d{\frac {dy}{dt}}+{\text{ϐ}}{\frac {dy}{ds}}dt\right)+\delta z\left(d{\frac {dz}{dt}}+{\text{ϐ}}{\frac {dz}{ds}}\,dt-gdt\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b270d289308572aaa9c589f2ee81a58b46be71a9)
Si le corps est entièrement libre, on aura les trois équations
![{\displaystyle 0=d{\frac {dx}{dt}}+{\text{ϐ}}{\frac {dx}{ds}}dt,\ 0=d{\frac {dy}{dt}}+{\text{ϐ}}{\frac {dy}{dt}},\ 0=d{\frac {dz}{dt}}+{\text{ϐ}}{\frac {dz}{ds}}dt-gdt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e68c4dc8a3b67e1a5acf6dc71b33a9a1506b530)
Les deux premières donnent
![{\displaystyle {\frac {dy}{dt}}d{\frac {dx}{dt}}-{\frac {dx}{dt}}d{\frac {dy}{dt}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3aee09f01a15973abc1279bfa3dccb4eef763cc)
d’où l’on tire, en intégrant,
![{\displaystyle dx=fdy,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a62a44621e2b48bd4f8303aa391c0539ef540815)
étant une constante arbitraire. Cette équation est celle d’une droite horizontale ; ainsi le corps se meut dans un plan vertical. En prenant ce plan pour celui des
et des
on aura
les deux équations
![{\displaystyle 0=d{\frac {dx}{dt}}+{\text{ϐ}}{\frac {dx}{ds}}dt,\qquad 0=d{\frac {dz}{dt}}+{\text{ϐ}}{\frac {dz}{ds}}dt-gdt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/074c1225c03eedbe0aa395dd1b8ee78672b65d05)
donneront, en faisant
constant,
![{\displaystyle {\text{ϐ}}={\frac {dsd^{2}t}{dt^{2}}},\qquad 0={\frac {d^{2}z}{dt}}+{\text{ϐ}}{\frac {dzd^{2}t}{dt}}+{\text{ϐ}}{\frac {dz}{ds}}dt-gdt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/993bce6cde02013d706e69c146a2acb8d99c57ee)
d’où l’on tire
et, en différentiant,
![{\displaystyle 2gdtd^{2}t=d^{2}z\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/184035bcc7142bf651f8e838877265a60c207ef2)
en substituant pour
sa valeur
et pour
sa valeur
on aura
![{\displaystyle {\frac {\text{ϐ}}{g}}={\frac {dsd^{3}z}{2\left(d^{2}z\right)^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c9f3cabec63457b2fd2b60a4e92c9fb4cea9e5a)