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$d^{3}x,d^{3}y,d^{3}z,$ leurs valeurs données par les équations (O’), et ensuite, au lieu de $d^{2}x,d^{2}y,d^{2}z,$ leurs valeurs données par les équations (O), on trouvera

$0=d\left(r^{3}{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}\right)+\mu dr.$

Si l’on compare cette équation aux équations (O’), on aura, en vertu du théorème exposé ci-dessus, en considérant ${\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}},{\frac {dz}{dt}},{\frac {dr}{dt}}$ comme autant de variables particulières $x^{(1)},x^{(2)},x^{(3)},x^{(4)},$ et $r$ comme fonction du temps $t,$

$dr=\lambda dx+\gamma dy,$

$\lambda ,\gamma$ étant des constantes, et, en intégrant,

$r={\frac {h^{2}}{\mu }}+\lambda x+\gamma y,$

${\frac {h^{2}}{\mu }}$ étant une constante. Cette équation, combinée avec celles-ci

$z=ax+by,\qquad r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2},$

donne une équation du second degré, soit en $x$ et $y$, soit en $x$ et $z$, soit en $y$ et $z\,;$ d’où il suit que les trois projections de la courbe décrite par $m$ autour de ${\rm {M}}$ sont des lignes du second ordre, et qu’ainsi, cette courbe étant toute dans un même plan, elle est elle-même une ligne du second ordre ou une section conique. Il est facile de s’assurer, par la nature de ce genre de courbes, que, le rayon vecteur $r$ étant exprimé par une fonction linéaire des coordonnées $x,y,$ l’origine de ces coordonnées doit être au foyer de la section. Maintenant l’équation

$r={\frac {h^{2}}{\mu }}+\lambda x+\gamma y$

donne, en vertu des équations (O),

$0={\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}+\mu {\frac {r-{\frac {h^{2}}{\mu }}}{r^{3}}}.$