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PREMIÈRE PARTIE. — LIVRE I.

d’où l’on tire

$0=m\mathrm {P} +m'\mathrm {P} ',\quad 0=m\mathrm {Q} +m'\mathrm {Q} ',\quad 0=m\mathrm {R} +m'\mathrm {R} '\ ;$

et il est clair que ces équations ont lieu dans le cas même où les corps exerceraient les uns sur les autres une action finie dans un instant. Leur action réciproque disparaît donc des intégrales $\sum m\mathrm {P} ,\ \sum m\mathrm {Q} ,\ \sum m\mathrm {R} ,$ qui par conséquent sont nulles lorsque le système n’est point sollicité par des forces étrangères. Dans ce cas, on a

$0={\frac {d^{2}{\rm {X}}}{dt^{2}}},\qquad 0={\frac {d^{2}{\rm {Y}}}{dt^{2}}},\qquad 0={\frac {d^{2}{\rm {Z}}}{dt^{2}}},$

et, en intégrant,

$\mathrm {X} =a+bt,\qquad \mathrm {Y} =a'+b't,\qquad \mathrm {Z} =a''+b''t,$

$a,b,a',b',a'',b''$ étant des constantes arbitraires. En éliminant le temps $t$ on aura une équation du premier ordre, soit entre ${\rm {X}}$ et ${\rm {Y,}}$ soit entre ${\rm {X}}$ et ${\rm {Z\ ;}}$ d’où il suit que le mouvement du centre de gravité est rectiligne. De plus, sa vitesse étant égale à

${\sqrt {\left({\frac {d{\rm {X}}}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {d{\rm {Y}}}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {d{\rm {Z}}}{dt}}\right)^{2}}},\;\quad$ou à$\quad {\sqrt {b^{2}+b^{'2}+b^{''2}}},$

elle est constante, et le mouvement est uniforme.

Il est clair, d’après l’analyse précédente, que cette inaltérabilité du mouvement du centre de gravité d’un système de corps, quelle que soit leur action mutuelle, subsiste dans le cas même où quelques-uns de ces corps perdent dans un instant, par cette action, une quantité finie de mouvement.

21. Si l’on fait

$\delta x'={\frac {y'\delta x}{y}}+\delta x'_{1},\qquad \delta x''={\frac {y''\delta x}{y}}+\delta x''_{1},\ldots ,$

$\delta y={\frac {-x\delta x}{y}}+\delta y_{1},\quad \delta y'={\frac {-x'\delta x}{y}}+\delta y'_{1},\quad \delta y''={\frac {-x''\delta x}{y}}+\delta y''_{1},\ldots ,$

la variation $\delta x$ disparaît encore des expressions de $\delta f,\delta f',\delta f'',\ldots \ ;$ en