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et l’équation différentielle en $y'$ par

$m'x'-m'{\frac {\Sigma mx}{\mathrm {M} +\Sigma m}},$

et ainsi du reste ; si l’on ajoute ensuite toutes ces équations, en observant que la nature de la fonction $\lambda$ donne

$0=\Sigma x{\frac {\partial \lambda }{\partial y}}-\Sigma y{\frac {\partial \lambda }{\partial x}},\qquad 0=\Sigma {\frac {\partial \lambda }{\partial x}},\qquad 0=\Sigma {\frac {\partial \lambda }{\partial y}},$

on aura

$0=\Sigma m{\frac {xd^{2}y-yd^{2}x}{dt^{2}}}-{\frac {\Sigma mx}{\mathrm {M} +\Sigma m}}\Sigma m{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {\Sigma my}{\mathrm {M} +\Sigma m}}\Sigma m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},$

équation dont l’intégrale est

$\mathrm {const} .=\Sigma m{\frac {xdy-ydx}{dt}}-{\frac {\Sigma mx}{\mathrm {M} +\Sigma m}}\Sigma m{\frac {dy}{dt}}+{\frac {\Sigma my}{\mathrm {M} +\Sigma m}}\Sigma m{\frac {dx}{dt}},$

ou

(4)

$c=\mathrm {M} \Sigma m{\frac {xdy-ydx}{dt}}+\Sigma mm'{\frac {(x'-x)(dy'-dy)-(y'-y)(dx'-dx)}{dt}},$

c étant une constante arbitraire. On parviendra de la même manière aux deux intégrales suivantes :

(5)

$c'=\mathrm {M} \Sigma m{\frac {xdz-zdx}{dt}}+\Sigma mm'{\frac {(x'-x)(dz'-dz)-(z'-z)(dx'-dx)}{dt}},$

(6)

$c''=\mathrm {M} \Sigma m{\frac {ydz-zdy}{dt}}+\Sigma mm'{\frac {(y'-y)(dz'-dz)-(z'-z)(dy'-dy)}{dt}},$

$c',c''$ étant deux nouvelles arbitraires.

Si l’on multiplie l’équation différentielle en $x$ par

$2mdx-2m{\frac {\Sigma mdx}{\mathrm {M} +\Sigma m}},$

l’équation différentielle en $y$ par

$2mdy-2m{\frac {\Sigma mdy}{\mathrm {M} +\Sigma m}},$