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successivement des ordres $i-i',i-i'+2,\ldots$ Il en serait de même si $i$ était négatif dans le premier cas, ou $i'$ dans le second^[1].

Nommons $\varpi$ la longitude du périhélie de l’orbite de $m,$ et $\theta$ celle de son nœud ; nommons pareillement $\varpi '$ la longitude du périhélie de l’orbite de $m',$ et $\theta '$ celle de son nœud, ces longitudes étant comptées sur un plan très-peu incliné à celui des orbites. Il résulte des formules du n^o 22 que, dans les expressions de $u_{\text{ı}},v_{\text{ı}}$ et $z,$ l’angle $nt+\varepsilon$ est toujours accompagné de $-\varpi$ ou de $-\theta ,$ et que, dans les expressions de $u_{\text{ı}},v_{\text{ı}}$ et $z',$ l’angle $n't+\varepsilon '$ est toujours accompagné de $-\varpi '$ ou de $-\theta '\,;$ d’où il suit que le terme $m'k\cos(i'n't-int+{\rm {{A})}}$ est de cette forme

$m'k\cos(i'n't-int+i'\varepsilon '-i\varepsilon -g\varpi -g'\varpi '-g''\theta -g'''\theta ),$

$g,g',g'',g'''$ étant des nombres entiers positifs ou négatifs, et tels que l’on a

$0=i'-i-g-g'-g''-g'''.$

Cela résulte encore de ce que la valeur de ${\rm {R}}$ et ses différents termes sont indépendants de la position de la droite d’où l’on compte les longitudes. De plus, dans les formules du n^o 22, le coefficient du sinus et du cosinus de l’angle $\varpi$ a toujours pour facteur l’excentricité $e$ de l’orbite de $m$ ; le coefficient du sinus et du cosinus de l’angle $2\varpi$ a pour facteur le carré $e^{2}$ de cette excentricité, et ainsi de suite. Pareillement, le coefficient du sinus et du cosinus de l’angle $\theta$ a pour facteur $\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\varphi ,\ \varphi$ étant l’inclinaison de l’orbite de $m$ sur le plan fixe ; le coefficient du sinus et du cosinus de l’angle $2\theta$ a pour facteur $\operatorname {tang} ^{2}{\frac {1}{2}}\varphi ,$ et ainsi du reste ; d’où il résulte que le coefficient $k$ a pour facteur

$e^{g}e'^{g'}\operatorname {tang} ^{g''}{\frac {1}{2}}\varphi \operatorname {tang} ^{g'''}{\frac {1}{2}}\varphi ',$

les nombres $g,g',g'',g'''$ étant pris positivement dans les exposants de ce facteur. Si tous ces nombres sont positifs en eux-mêmes, ce fac-

1. La phrase : Il en serait de même, etc., qui termine cet alinéa, ne se trouve pas dans l’édition de l’an VII ; elle a été ajoutée dans l’édition de 1829.