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$a$ et $ea$ étant le demi-grand axe et l’excentricité de l’orbite, on a, par les n^os 18 et 19, en y faisant $\mu =1,$

${\frac {1}{a}}={\frac {2}{r}}-\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}-\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}-\left({\frac {dz}{dt}}\right)^{2},$

$a\left(1-e^{2}\right)=2r-{\frac {r^{2}}{a}}-\left[x\left({\frac {dx}{dt}}\right)+y\left({\frac {dy}{dt}}\right)+z\left({\frac {dz}{dt}}\right)\right]^{2}.$

La première de ces équations détermine le demi-grand axe de l’orbite, et la seconde détermine son excentricité. Le signe de la fonction $x\left({\frac {dx}{dt}}\right)+y\left({\frac {dy}{dt}}\right)+z\left({\frac {dz}{dt}}\right)$ fait connaître si la comète a déjà passé par son périhélie ; car elle s’en approche, si cette fonction est négative ; dans le cas contraire, la comète s’éloigne de ce point.

Soit ${\rm {T}}$ l’intervalle de temps compris entre l’époque et le passage de la comète par le périhélie ; les deux premières des équations (f) du n^o  20 donneront, en observant que, $\mu$ étant supposé égal à l’unité, on a $n=a^{-{\frac {3}{2}}},$

$r=a(1-e\cos u),\qquad \mathrm {T} =a^{\frac {3}{2}}(u-e\sin u).$

La première de ces équations donne l’angle $u,$ et la seconde fait connaître ${\rm {{T}.}}$ Ce temps, ajouté ou retranché de l’époque, suivant que la comète s’approche ou s’éloigne du périhélie, donnera l’instant de son passage par ce point. Les valeurs de $x$ et de $y$ déterminent l’angle que la projection du rayon vecteur $r$ fait avec l’axe des $x$, et, puisque l’on connaît l’angle ${\rm {I}}$ formé par cet axe et par la ligne des nœuds, on aura l’angle que forme cette dernière ligne avec la projection de $r,$ d’où l’on tirera, au moyen de l’inclinaison $\varphi$ de l’orbite, l’angle formé par la ligne des nœuds et par le rayon $r.$ Mais, l’angle $u$ étant connu, on aura, au moyen de la troisième des équations (f) du n^o  20, l’angle $v$ que forme ce rayon avec la ligne des apsides ; on aura donc l’angle compris entre les deux lignes des apsides et des nœuds, et par conséquent la position du périhélie ; tous les éléments de l’orbite seront ainsi déterminés.