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la partie correspondante de $e$ sera

$-{\frac {m'an}{\mu (i'n'-in)}}\times$

$\left[{\frac {\partial P}{\partial e}}\sin(i'n't-int+i'\varepsilon '-i\varepsilon )+{\frac {\partial P'}{\partial e}}\cos(i'n't-int+i'\varepsilon '-i\varepsilon )\right].$

Cette inégalité peut devenir fort sensible, si le coefficient $i'n'-in$ est très-petit, comme cela a lieu dans la théorie de Jupiter et de Saturne. À la vérité, elle n’a pour diviseur que la première puissance de $i'n'-in,$ tandis que l’inégalité correspondante du moyen mouvement a pour diviseur la seconde puissance de cette quantité, comme on l’a vu dans le n^o 65 ; mais ${\frac {\partial {\rm {P}}}{\partial e}}$ et ${\frac {\partial {\rm {P'}}}{\partial e}}$ étant d’un ordre inférieur à ${\rm {P}}$ et ${\rm {P',}}$ l’inégalité de l’excentricité peut être considérable, et même surpasser celle du moyen mouvement, si les excentricités $e$ et $e'$ sont très-petites ; nous en verrons des exemples dans la théorie des satellites de Jupiter.

Déterminons présentement l’inégalité correspondante du mouvement du périhélie. Pour cela, reprenons les deux équations

$ede={\frac {fdf+f'df'}{\mu ^{2}}},\qquad e^{2}d\varpi ={\frac {fdf'+f'df}{\mu ^{2}}},$

auxquelles nous sommes parvenus dans le n^o 67. Ces équations donnent

$df=\mu de\cos \varpi -\mu d\varpi \sin \varpi \,;$

ainsi, en n’ayant égard qu’à l’angle $i'n't-int+i'\varepsilon '-i\varepsilon -g\varpi -g'\varpi '$$-g''\theta ',$ on aura

$df=m'andt{\frac {\partial k}{\partial e}}\cos \varpi \sin(i'n't-int+i'\varepsilon '-i\varepsilon -g\varpi -g'\varpi '-g''\theta ').$

Représentons par

$-m'andt\left({\frac {\partial k}{\partial e}}+k'\right)\cos(i'n't-int+i'\varepsilon '-i\varepsilon -g\varpi -g'\varpi '-g''\theta ')$

la partie de $\mu .ed\varpi$ qui dépend du même angle ; on aura

$df=m'andt\left({\frac {\partial k}{\partial e}}+{\frac {1}{2}}k'\right)$

$\sin \left[i'n't-int+i'\varepsilon '-i\varepsilon -(g-1)\varpi -g'\varpi '-g''\theta '\right].$

$-{\frac {m'andt}{2}}k'\sin \left[i'n't-int+i'\varepsilon '-i\varepsilon -(g+1)\varpi -g'\varpi '-g''\theta '\right].$