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l’équation $\mathrm {N'} ={\frac {\partial Q}{\partial v}}$ donnera

${\text{ϐ}}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {Q} }{\partial v^{2}}}=m'{\frac {\partial \mathrm {N} '}{\partial a}}+n'{\frac {\partial \mathrm {N} '}{\partial b}}+p'{\frac {\partial \mathrm {N} '}{\partial c}}.$

Enfin, si l’on fait

${\begin{aligned}m''&={\frac {\partial r}{\partial b}}{\frac {\partial v}{\partial c}}-{\frac {\partial r}{\partial c}}{\frac {\partial v}{\partial b}},\\\\n''&={\frac {\partial r}{\partial c}}{\frac {\partial v}{\partial a}}-{\frac {\partial r}{\partial a}}{\frac {\partial v}{\partial c}},\\\\p''&={\frac {\partial r}{\partial a}}{\frac {\partial v}{\partial b}}-{\frac {\partial r}{\partial b}}{\frac {\partial v}{\partial a}},\end{aligned}}$

l’équation $\mathrm {P} '={\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial \theta }}$ donnera

${\text{ϐ}}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {Q} }{\partial \theta ^{2}}}=m''{\frac {\partial P'}{\partial a}}+n''{\frac {\partial P'}{\partial b}}+p''{\frac {\partial P'}{\partial c}}.$

L’équation (F) deviendra ainsi

(G)

$\left\{{\begin{aligned}0=&mr^{2}\cos ^{2}\theta {\frac {\partial \mathrm {M} '}{\partial a}}+nr^{2}\cos ^{2}\theta {\frac {\partial \mathrm {M} '}{\partial b}}+pr^{2}\cos ^{2}\theta {\frac {\partial \mathrm {M} '}{\partial c}}\\\\&+m'{\frac {\partial \mathrm {N} '}{\partial a}}+n'{\frac {\partial \mathrm {N} '}{\partial b}}+p'{\frac {\partial \mathrm {N} '}{\partial c}}\\\\&+m''\cos ^{2}\theta {\frac {\partial \mathrm {P} '}{\partial a}}+n''\cos ^{2}\theta {\frac {\partial \mathrm {P} '}{\partial b}}+p''\cos ^{2}\theta {\frac {\partial \mathrm {P} '}{\partial c}}\\\\&+{\text{ϐ}}\left(2r\mathrm {M} '\cos ^{2}\theta -\mathrm {P} '\sin \theta \cos \theta \right).\end{aligned}}\right.$

Dans la théorie de la Lune, on néglige les perturbations que son action produit dans le mouvement relatif du Soleil autour de la Terre, ce qui revient à regarder sa masse comme infiniment petite. Alors les variables $x',y',z'$, relatives au Soleil, sont indépendantes de $x,y,z,$ et l’équation (G) a lieu dans cette théorie ; il faut donc que les valeurs trouvées pour $r,v$ et $\theta$ y satisfassent, ce qui donne un moyen de vérifier ces valeurs. Si les inégalités observées dans le mouvement de la Lune sont le résultat de l’attraction mutuelle de ces trois corps, le Soleil, la Terre et la Lune, il faut que les valeurs de $r,v$ et $\theta$, tirées des observations, satisfassent à l’équation (G), ce qui donne un moyen de véri-