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étant inconnue, la nature de la courbe qu’elle fait décrire est donnée, alors, en différentiant l’expression précédente de $2\int \varphi dr,$ on aura, pour déterminer $\varphi ,$ l’équation

(4)

$\varphi ={\frac {c^{2}}{r^{3}}}-{\frac {c^{2}}{2}}{\frac {d{\frac {dr^{2}}{r^{4}dv^{2}}}}{dr}}.$

Les orbes des planètes sont des ellipses dont le centre du Soleil occupe un des foyers ; or si, dans l’ellipse, on nomme ts l’angle que le grand axe fait avec l’axe des $x$ ; si, de plus, on fixe au foyer l’origine des $x,$ et que l’on désigne par $a$ le demi-grand axe et par $e$ le rapport de l’excentricité au demi-grand axe, on aura

$r={\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{1+e\cos(v-\varpi )}},$

équation qui devient celle d’une parabole, lorsque $e=1$ et que $a$ est infmi, et qui appartient à l’hyperbole, lorsque $e$ surpasse l’unité et que $a$ est négatif. Cette équation donne

${\frac {dr^{2}}{r^{4}dv^{2}}}={\frac {2}{ar\left(1-e^{2}\right)}}-{\frac {1}{r^{2}}}-{\frac {1}{a^{2}\left(1-e^{2}\right)}},$

et par conséquent

$\varphi ={\frac {c^{2}}{a\left(1-e^{2}\right)}}{\frac {1}{r^{2}}}\,;$

ainsi, les orbites des planètes et des comètes étant des sections coniques, la force $\varphi$ est réciproque au carré de la distance du centre de ces astres à celui du Soleil.

On voit, de plus, que, si la force $\varphi$ est réciproque au carré de la distance ou exprimée par ${\frac {h}{r^{2}}},\ h$ étant un coefficient constant, l’équation précédente des sections coniques satisfera à l’équation différentielle (4) entre $r$ et $v,$ que donne l’expression de $\varphi ,$ lorsqu’on y change $\varphi$ dans ${\frac {h}{r^{2}}}.$ On a alors $h={\frac {c^{2}}{a\left(1-e^{2}\right)}},$ ce qui forme une équation de condition entre les deux arbitraires $a$ et $e$ de l’équation aux sections coniques ; les trois