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fier la théorie de la pesanteur universelle ; car les longitudes moyennes de la Lune, de son périgée et de son nœud ascendant entrent dans ces valeurs, et l’on peut prendre pour $a,b,c$ ces longitudes.

Pareillement, si, dans la théorie des planètes, on néglige le carré des forces perturbatrices, ce qui est presque toujours permis, alors, dans la théorie de la planète dont les coordonnées sont $x,y,z,$ on peut supposer que les coordonnées $x',y',z',x'',\ldots$ des autres planètes sont relatives à leur mouvement elliptique, et par conséquent indépendantes de $x,y,z$ ; l’équation (G) a donc encore lieu dans cette théorie.

15. Les équations différentielles du numéro précédent,

(H)

$\left\{{\begin{aligned}&{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {rdv^{2}}{dt^{2}}}\cos \theta -r{\frac {d\theta ^{2}}{dt^{2}}}={\frac {\partial Q}{\partial r}},\\\\&{\frac {\partial \left(r^{2}{\frac {dv}{dt}}\cos ^{2}\theta \right)}{\partial t}}={\frac {\partial Q}{\partial v}},\\\\&r^{2}{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+r^{2}{\frac {dv^{2}}{dt^{2}}}\sin \theta \cos \theta +{\frac {2rdrd\theta }{dt^{2}}}={\frac {\partial Q}{\partial \theta }},\end{aligned}}\right.$

ne sont qu’une combinaison des équations différentielles (i) du même numéro, mais elles sont plus commodes et plus adaptées aux usages astronomiques. On peut leur donner d’autres formes qui peuvent être utiles dans diverses circonstances.

Au lieu des variables $r$ et $\theta$, considérons celles-ci $u$ et $s,\ u$ étant égal à ${\frac {1}{r\cos \theta }}$ ou à l’unité divisée par la projection du rayon vecteur sur le plan des $x$ et des $y$, et $s$ étant égal à $\operatorname {tang} \theta$ ou à la tangente de la latitude de $m$ au-dessus du même plan. Si l’on multiplie la seconde des équations (H) par $r^{2}dv\cos ^{2}\theta ,$ et qu’ensuite on l’intègre, on aura

$\left({\frac {dv}{u^{2}dt}}\right)^{2}=h^{2}+2\int {\frac {\partial Q}{\partial v}}{\frac {dv}{du^{2}}},$

$h$ étant une constante arbitraire ; on a donc

$dt={\frac {dv}{u^{2}{\sqrt {h^{2}+2\int {\frac {\partial Q}{\partial v}}{\frac {dv}{u^{2}}}}}}}.$