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n^o 59, que ces termes sont les mêmes pour $p,p',p'',\ldots ,$ et qu’ils sont encore les mêmes pour $q,q',q'',\ldots \,;$ et comme, relativement au plan invariable, les constantes des premiers membres des équations (1) et (2) du n^o 59 sont nulles, les termes constants disparaissent, en vertu de ces équations, des expressions de $p,p',\ldots ,q,q',\ldots .$

Considérons le mouvement de deux orbites, en les supposant inclinées l’une à l’autre d’un angle quelconque ; on aura, par le n^o 61,

${\begin{aligned}c'&=\sin \varphi \cos \theta .m{\sqrt {a\left(1-e^{2}\right)}}+\sin \varphi '\cos \theta '.m'{\sqrt {a'\left(1-e'^{2}\right)}},\\c''&=\sin \varphi \sin \theta .m{\sqrt {a\left(1-e^{2}\right)}}+\sin \varphi '\sin \theta '.m'{\sqrt {a'\left(1-e'^{2}\right)}}.\end{aligned}}$

Supposons que le plan fixe auquel on rapporte le mouvement des orbites soit le plan invariable dont nous venons de parler, et par rapport auquel les constantes des premiers membres de ces équations sont nulles, comme on l’a vu dans les n^o 21 et 22 du premier Livre. Les angles $\varphi$ et $\varphi '$ étant positifs, les équations précédentes donnent les suivantes

$m{\sqrt {a\left(1-e^{2}\right)}}\sin \varphi =m'{\sqrt {a'\left(1-e'^{2}\right)}}\sin \varphi ',$

$\sin \theta =-\sin \theta ',\qquad \cos \theta =-\cos \theta ',$

d’où l’on tire $\theta '=\theta +$ la demi-circonférence ; les nœuds des orbites sont par conséquent sur la même ligne ; mais le nœud ascendant de l’une coïncide avec le nœud descendant de l’autre, en sorte que l’inclinaison mutuelle des deux orbites est égale à $\varphi +\varphi '.$

On a, par le n^o 61,

$c=m{\sqrt {a\left(1-e^{2}\right)}}\cos \varphi +m'{\sqrt {a'\left(1-e'^{2}\right)}}\cos \varphi '\,;$

en combinant cette équation avec la précédente entre $\sin \varphi$ et $\sin \varphi ',$ on aura

$2mc\cos \varphi {\sqrt {a\left(1-e^{2}\right)}}=c^{2}+m^{2}a\left(1-e^{2}\right)-m'^{2}a'\left(1-e'^{2}\right).$

Si l’on suppose les orbites circulaires, ou du moins assez peu excentriques pour que l’on puisse négliger les carrés de leurs excentricités, l’équation précédente donnera $\varphi$ constant ; par la même raison, $\varphi '$ sera