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MÉCANIQUE CÉLESTE.

Cette équation donne la loi de la résistance ϐ, nécessaire pour faire décrire au projectile une courbe déterminée.

Si la résistance est proportionnelle au carré de la vitesse, ϐ est égal à $h{\frac {ds^{2}}{dt^{2}}},$ $h$ étant constant dans le cas où la densité du milieu est uniforme. On a alors

${\frac {\text{ϐ}}{g}}={\frac {h}{g}}{\frac {ds^{2}}{dt^{2}}}={\frac {h\,ds^{2}}{d^{2}z}}\ ;$

partant $hds={\frac {d^{3}z}{2d^{2}z\ ;}}$ ce qui donne, en intégrant,

${\frac {d^{2}z}{d^{2}x}}=2ac^{2hz},$

$a$ étant une constante arbitraire, et $c$ étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité. Si l’on suppose nulle la résistance du milieu, ou $h=0,$ on aura, en intégrant, l’équation à la parabole

$z=ax^{2}+bx+e,$

$b,$ $e$ étant des constantes arbitraires.

L’équation différentielle $d^{2}z=gdt^{2}$ donnera $dt^{2}={\frac {2a}{dx^{2}}},$ d’où l’on tire $t=x{\sqrt {\frac {2a}{g}}}+f'.$ Supposons que $x,$ $z$ et $t$ commencent ensemble;on aura $e=0,$ $f'=0,$ et par conséquent

$t=x{\sqrt {\frac {2a}{g}}},z=ax^{2}+bx,$

ce qui donne

$z={\frac {gt^{2}}{2}}+bt{\sqrt {\frac {g}{2a}}}.$

Ces trois équations renferment toute la théorie des projectiles dans le vide ; il en résulte que la vitesse est uniforme dans le sens horizontal, et que dans le sens vertical elle est la même que si le corps tombait suivant la verticale.