Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 1.djvu/309

les mêmes fonctions de $t$ et des paramètres $c,c',c'',\ldots$ ; soit donc ${\rm {Y}}$ une fonction quelconque des variables $y,y',y'',\ldots$ et de leurs différentielles inférieures à l’ordre $i-1$, et nommons ${\rm {T}}$ la fonction de $t$ dans laquelle elle se change, lorsque l’on y substitue, au lieu de ces variables et de leurs différences, leurs valeurs en $t.$ On pourra difTérentier l’équation ${\rm {Y=T,}}$ en y regardant les paramètres $c,c',c'',\ldots$ comme constants ; on pourra même ne prendre que la différence partielle de ${\rm {Y}}$ relativement à une seule ou à plusieurs des variables $y,y',\ldots ,$ pourvu que l’on ne fasse varier dans ${\rm {T}}$ que ce qui varie avec elles. Dans toutes ces différentiations, les paramètres $c,c',c'',\ldots$ peuvent toujours être traités comme constants, puisqu’en substituant, pour $y,y',\ldots$ et leurs différences, leurs valeurs en $t,$ on aura des équations identiquement nulles, dans les deux cas de $\alpha$ nul et de $\alpha$ quelconque.

Lorsque les équations différentielles sont de l’ordre $i-1$, il n’est plus permis, en les différentiant, de traiter les paramètres $c,c',c'',\ldots$ comme constants. Pour différentier ces équations, considérons l’équation $\varphi =0,\ \varphi$ étant une fonction différentielle de l’ordre $i-1,$ et qui renferme les paramètres $c,c',c'',\ldots$ ; soit $\delta \varphi$ la différence de cette fonction, prise en regardant $c,c',\ldots$ comme constants, ainsi que les différences $d^{i-1}y,d^{i-1}y',\ldots .$ Soit ${\rm {S}}$ le coefficient de ${\frac {d^{i}y}{dt^{i-1}}}$ dans la différence entière de $\varphi$ ; soit ${\rm {{S}'}}$ le coefficient de ${\frac {d^{i}y'}{dt^{i-1}}}$ dans cette même différence, et ainsi du reste. L’équation $\varphi =0,$ différentiée, donnera

$0=\delta \varphi +{\frac {\partial \varphi }{\partial c}}dc+{\frac {\partial \varphi }{\partial c'}}dc'+\ldots +\mathrm {S} {\frac {d^{i}y}{dt^{i-1}}}+\mathrm {S} '{\frac {d^{i}y'}{dt^{i-1}}}+\ldots$

En substituant au lieu de ${\frac {d^{i}y}{dt^{i-1}}}$ sa valeur $-dt({\rm {P+\alpha Q),}}$ au lieu de ${\frac {d^{i}y'}{dt^{i-1}}}$ sa valeur $-dt({\rm {P'+\alpha Q'),}}$ on aura

(t)$\quad 0=\delta \varphi +{\frac {\partial \varphi }{\partial c}}dc+{\frac {\partial \varphi }{\partial c'}}dc'+\ldots -dt({\rm {SP+S'P'+\ldots }})$

$-\alpha dt({\rm {SQ+S'Q'+\ldots }}).$

Dans la supposition de $\alpha$ nul, les paramètres $c,c',c'',\ldots$ sont constants ; on a ainsi

$0=\delta \varphi -dt({\rm {SP+S'P'+\ldots }}).$