de
sera donnée par la formule (p), dans une suite ordonnée par rapport aux puissances de \alpha.
Supposons maintenant que
soit une fonction des deux variables
et
ces variables étant données par les équations aux différences partielles
![{\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial \alpha }}=z{\frac {\partial x}{\partial t}},\qquad {\frac {\partial x'}{\partial \alpha '}}=z'{\frac {\partial x'}{\partial t'}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b135ed40120863d727c221198acd4a69b7645ed4)
dans lesquelles
et
sont fonctions quelconques de
et
Il est facile de s’assurer que les intégrales de ces équations sont
![{\displaystyle x=\varphi (t+\alpha z),\qquad x'=\psi (t'+\alpha 'z'),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42b5cd9e94cd5b13a07a4375ca7aebe1688ff911)
et
étant des fonctions arbitraires, l’une de
et l’autre de
. On a de plus
![{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial \alpha }}=z{\frac {\partial u}{\partial t}},\qquad {\frac {\partial u}{\partial \alpha '}}=z'{\frac {\partial u}{\partial t'}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a01e742f1ee8c07f659b9392ac64d5ff911f4e48)
Cela posé, si l’on conçoit
éliminé de
et de
au moyen de l’équation
et
deviendront des fonctions de
et
sans
ni
; on aura donc, par ce qui précède,
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{n}u}{\partial \alpha ^{n}}}={\frac {\partial ^{n-1}.z^{n}{\frac {\partial u}{\partial t}}}{\partial t^{n-1}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ec6efefc4bd98e4dd2c0f6820a149c93c7f81ca)
Si l’on suppose
après les différentiations, et si, de plus, on fait dans le second membre de cette équation
et par conséquent
on aura dans ces suppositions
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{n}u}{\partial \alpha ^{n}}}={\frac {\partial ^{n-1}.{\frac {\partial u}{\partial \alpha }}}{\partial t^{n-1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b70167024725d722d05c76de32194a3edaa335ff)
et par conséquent
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{n+n'}u}{\partial \alpha ^{n}\partial \alpha '^{n'}}}={\frac {\partial ^{n-1}{\frac {\partial {\frac {\partial ^{n'}u}{\partial \alpha '^{n'}}}}{\partial \alpha }}}{\partial t^{n-1}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e87ad89f5c3db0cdab79d4571db575ac96d7288)