Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 1.djvu/229

de $u$ sera donnée par la formule (p), dans une suite ordonnée par rapport aux puissances de \alpha.

Supposons maintenant que $u$ soit une fonction des deux variables $x$ et $x',$ ces variables étant données par les équations aux différences partielles

${\frac {\partial x}{\partial \alpha }}=z{\frac {\partial x}{\partial t}},\qquad {\frac {\partial x'}{\partial \alpha '}}=z'{\frac {\partial x'}{\partial t'}},$

dans lesquelles $z$ et $z'$ sont fonctions quelconques de $x$ et $x'.$ Il est facile de s’assurer que les intégrales de ces équations sont

$x=\varphi (t+\alpha z),\qquad x'=\psi (t'+\alpha 'z'),$

$\varphi (t+\alpha z)$ et $\psi (t'+\alpha 'z')$ étant des fonctions arbitraires, l’une de $t-\alpha z,$ et l’autre de $t'+\alpha 'z'$. On a de plus

${\frac {\partial u}{\partial \alpha }}=z{\frac {\partial u}{\partial t}},\qquad {\frac {\partial u}{\partial \alpha '}}=z'{\frac {\partial u}{\partial t'}}.$

Cela posé, si l’on conçoit $x'$ éliminé de $u$ et de $z$ au moyen de l’équation $x'=\psi (t'+\alpha 'z'),\ u$ et $z$ deviendront des fonctions de $x,\alpha '$ et $t',$ sans $\alpha$ ni $t$ ; on aura donc, par ce qui précède,

${\frac {\partial ^{n}u}{\partial \alpha ^{n}}}={\frac {\partial ^{n-1}.z^{n}{\frac {\partial u}{\partial t}}}{\partial t^{n-1}}}.$

Si l’on suppose $\alpha =0$ après les différentiations, et si, de plus, on fait dans le second membre de cette équation $x=\varphi \left(t+\alpha z^{n}\right),$ et par conséquent ${\frac {\partial u}{\partial \alpha }}=z^{n}{\frac {\partial u}{\partial t}},$ on aura dans ces suppositions

${\frac {\partial ^{n}u}{\partial \alpha ^{n}}}={\frac {\partial ^{n-1}.{\frac {\partial u}{\partial \alpha }}}{\partial t^{n-1}}},$

et par conséquent

${\frac {\partial ^{n+n'}u}{\partial \alpha ^{n}\partial \alpha '^{n'}}}={\frac {\partial ^{n-1}{\frac {\partial {\frac {\partial ^{n'}u}{\partial \alpha '^{n'}}}}{\partial \alpha }}}{\partial t^{n-1}}}.$