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$\theta$ et $\varpi$ après le temps $t$. En suivant le raisonnement du n^o 32, on trouvera qu’après ce temps le volume de la molécule fluide est égal à un parallélépipède rectangle dont la hauteur est ${\frac {\partial r'}{\partial r}}dr,$ dont la largeur est

$r'\sin \theta '\left({\frac {\partial \varpi '}{\partial \varpi '}}d\varpi +{\frac {\partial \varpi '}{\partial r}}dr\right),$

en éliminant $dr$ au moyen de l’équation

$0={\frac {\partial r'}{\partial \varpi }}d\varpi +{\frac {\partial r'}{\partial r}}dr\,;$

enfin, dont la longueur est

$r'\left({\frac {\partial \theta '}{\partial r}}dr+{\frac {\partial \theta '}{\partial \theta }}d\theta +{\frac {\partial \theta '}{\partial \varpi }}d\varpi \right),$

en éliminant $dr$ et $d\varpi ,$ au moyen des équations

${\begin{aligned}0&={\frac {\partial r'}{\partial r'}}dr+{\frac {\partial r'}{\partial \theta }}d\theta +{\frac {\partial r'}{\partial \varpi }}d\varpi ,\\\\0&={\frac {\partial \varpi '}{\partial \varpi '}}dr+{\frac {\partial \varpi '}{\partial \theta }}d\theta +{\frac {\partial \varpi '}{\partial \varpi }}d\varpi .\end{aligned}}$

En supposant donc

${\begin{aligned}{\text{ϐ}}'&={\frac {\partial r'}{\partial r}}{\frac {\partial \theta '}{\partial \theta }}{\frac {\partial \varpi '}{\partial \varpi }}-{\frac {\partial r'}{\partial r}}{\frac {\partial \theta '}{\partial \varpi }}{\frac {\partial \varpi '}{\partial \theta }}+{\frac {\partial r'}{\partial \theta }}{\frac {\partial \theta '}{\partial \varpi }}{\frac {\partial \varpi '}{\partial r}}\\\\&-{\frac {\partial r'}{\partial \theta }}{\frac {\partial \theta '}{\partial r}}{\frac {\partial \varpi '}{\partial \varpi }}+{\frac {\partial r'}{\partial \varpi }}{\frac {\partial \theta '}{\partial r}}{\frac {\partial \varpi '}{\partial \theta }}-{\frac {\partial r'}{\partial \varpi }}{\frac {\partial \theta '}{\partial \theta }}{\frac {\partial \varpi '}{\partial r}},\end{aligned}}$

le volume de la molécule après le temps $t$ sera ${\text{ϐ}}'r'^{2}\sin \theta 'drd\theta d\varpi \,;$ ainsi, en nommant $(\rho )$ la densité primitive de cette molécule, et $p$ sa densité correspondante à $t,$ on aura, en égalant l’expression primitive de sa masse à son expression après le temps $t,$

$\rho {\text{ϐ}}'r'^{2}\sin \theta '=(\rho )r^{2}\sin \theta \,;$

c’est l’équation de la continuité du fluide. Dans le cas présent,

$r'=r+\alpha s,\qquad \theta '=\theta +\alpha u,\qquad \varpi '=nt+\varpi +\alpha v\,;$