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pair, et le signe $+$ ayant lieu si $r$ est impair. La somme de tous ces termes sera la valeur de $\mathrm {P'} ,$ et l’on aura

$\sin iu=\sin int+e\mathrm {P} '.$

Si l’on suppose $\psi (u)=u,$ on aura $\psi '(nt)=1,$ et l’on trouvera

${\begin{aligned}u=nt+e\sin nt&+{\frac {e^{2}}{1.2.2}}2\sin 2nt\\\\&+{\frac {e^{3}}{1.2.3.2^{2}}}(3^{2}\sin 3nt-3\sin nt)\\\\&+{\frac {e^{4}}{1.2.3.4.2^{3}}}\left(4^{3}\sin 4nt-4.2^{3}\sin 2nt\right)\\\\&+{\frac {e^{5}}{1.2.3.4.5.2^{4}}}\left(5^{4}\sin 5nt-5.3^{4}\sin 3nt+{\frac {5.4}{1.2}}\sin nt\right)\\\\&+\ldots \ldots \end{aligned}}$

Cette série est fort convergente pour les planètes. Ayant ainsi déterminé u pour un instant quelconque, on en tirera, au moyen des équations (f) du n^o 20, les valeurs correspondantes de $r$ et de $v$ ; mais on peut avoir directement ces dernières quantités en séries convergentes, de cette manière.

Pour cela, nous observerons que l’on a, par le n^o 20, $r=a(1-e\cos u)\,;$ or si, dans la formule (q), on suppose $\psi (u)=1-e\cos w,$ on aura $\psi '(nt)=$$e\sin nt,$ et par conséquent

$1-e\cos u=1-e\cos nt+e^{2}\sin ^{2}nt+{\frac {e^{3}}{1.2}}{\frac {d\sin ^{3}nt}{ndt}}+{\frac {e^{4}}{1.2.3}}{\frac {d^{2}\sin ^{4}nt}{n^{2}dt^{2}}}+\ldots$

On aura donc, par l’analyse précédente,

${\begin{aligned}{\frac {r}{a}}=1+{\frac {e^{2}}{2}}&-e\cos nt-{\frac {e^{3}}{1.2.2^{2}}}(3\cos 3nt-3\cos nt)\\\\&-{\frac {e^{4}}{1.2.3.2^{3}}}\left(4^{2}\cos 4nt-4.2^{2}\cos 2nt\right)\\\\&-{\frac {e^{5}}{1.2.3.4.2^{4}}}\left(5^{3}\cos 5nt-5.3^{3}\cos 3nt+{\frac {5.4}{1.2}}\cos nt\right)\\\\&-{\frac {e^{6}}{1.2.3.4.5.2^{5}}}\left(6^{4}\cos 6nt-4.4^{4}\cos 4nt+{\frac {6.5}{1.2}}.2^{4}\cos 2nt\right)\\&+\ldots \ldots \end{aligned}}$