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on aura, au lieu des deux équations différentielles précédentes, les suivantes

${\begin{aligned}dq&=-{\frac {dt}{c}}\cos v{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial s}},\\dp&=-{\frac {dt}{c}}\sin v{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial s}}\,;\end{aligned}}$

or on a $s=q\sin v-p\cos v,$ ce qui donn

${\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial s}}={\frac {1}{\sin v}}{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial q}},\qquad {\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial s}}=-{\frac {1}{\cos v}}{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial p}}\,;$

partant

$dq={\frac {dt}{c}}{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial p}},\qquad dp=-{\frac {dt}{c}}{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial q}}.$

On a vu dans le n^o 48 que la fonction ${\rm {R}}$ est indépendante de la position du plan fixe des $x$ et des $y$ ; en supposant donc tous les angles de cette fonction rapportés à l’orbite de $m,$ il est visible que ${\rm {R}}$ sera fonction de ces angles et de l’inclinaison respective des deux orbites, inclinaison que nous désignerons par $\varphi '_{\text{ı}}.$ Soit $\theta '_{\text{ı}}$ la longitude du nœud de l’orbite de $m'$ sur l’orbite de $m,$ et supposons que $m'k\left(\operatorname {tang} \varphi '_{\text{ı}}\right)^{g}\cos \left(i'n't-int+{\rm {A}}-g\theta '_{\text{ı}}\right)$ soit un terme de ${\rm {R,}}$ dépendant de l’angle $i'n't-int\,;$ on aura, par le n^o 60,

$\operatorname {tang} \varphi '_{\text{ı}}\sin \theta '_{\text{ı}}=p'-p,\qquad \operatorname {tang} \varphi '_{\text{ı}}\cos \theta '_{\text{ı}}=q'-q,$

d’où l’on tire

$\left(\operatorname {tang} \varphi '_{\text{ı}}\right)^{g}\sin g\theta '_{\text{ı}}={\frac {\left[q'-q+(p'-p){\sqrt {-1}}\right]^{g}-\left[q'-q-(p'-p){\sqrt {-1}}\right]^{g}}{2{\sqrt {-1}}}},$

$\left(\operatorname {tang} \varphi '_{\text{ı}}\right)^{g}\cos g\theta '_{\text{ı}}={\frac {\left[q'-q+(p'-p){\sqrt {-1}}\right]^{g}+\left[q'-q-(p'-p){\sqrt {-1}}\right]^{g}}{2}}.$

En n’ayant donc égard qu’au terme précédent de ${\rm {R,}}$ on aura

${\begin{aligned}{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial p}}=-g\left(\operatorname {tang} \varphi '_{\text{ı}}\right)^{g-1}m'k\sin \left[i'n't-int+{\rm {A}}-(g-1)\theta '_{\text{ı}}\right],\\{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial q}}=-g\left(\operatorname {tang} \varphi '_{\text{ı}}\right)^{g-1}m'k\cos \left[i'n't-int+{\rm {A}}-(g-1)\theta '_{\text{ı}}\right].\end{aligned}}$