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La valeur de ${\frac {r}{a}}$ trouvée dans le no 22 donne, en portant la précision jusqu’aux quantités de l’ordre $e^{3}$ inclusivement,

$r=a\left[1+e^{2}-u\left(1-{\frac {3}{2}}e^{2}\right)-u^{2}-{\frac {3}{2}}e^{3}\right],$

d’où l’on tire

$r^{2}=a^{2}\left[1+2e^{2}-2u\left(1-{\frac {3}{2}}e^{2}\right)-u^{2}-u^{3}\right]=\varphi (u).$

Si l’on substitue cette valeur de $\varphi (u)$ dans l’équation différentielle en $\delta u,$ et que l’on restitue au lieu de ${\rm {Q}}$ sa valeur $2\int d\mathrm {R}$ et $e\cos 2(nt+\varepsilon -\varpi )$ au lieu de $u,$ on aura, aux quantités près de l’ordre $e^{3},$

(X’)

$\left\{{\begin{aligned}&0={\frac {d^{2}\delta u}{dt^{2}}}+n^{2}\delta u\\\\&-{\frac {1}{a^{2}}}\left[1+{\frac {1}{4}}e^{2}-e\cos(nt+\varepsilon -\varpi )-{\frac {1}{4}}e^{2}\cos(2nt+2\varepsilon -2\varpi )\right]\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \times \left(2\int d\mathrm {R} +r{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial r}}\right)\\\\&-{\frac {2e}{a^{2}}}\int ndt\left[\sin(nt+\varepsilon -\varpi )\left[1+e\cos(nt+\varepsilon -\varpi )\right]\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \times \left.\left(2\int d\mathrm {R} +r{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial r}}\right)\right].\end{aligned}}\right.$

Lorsque l’on aura déterminé $\delta u$ au moyen de cette équation différentielle, on aura $\delta r$ en différentiant l’expression de $r$ par rapport à la caractéristique $\delta ,$ ce qui donne

$\delta r=-a\delta u\left[1+{\frac {3}{4}}e^{2}+2e\cos(nt+\varepsilon -\varpi )+{\frac {9}{4}}e^{2}\cos(2nt+2\varepsilon -2\varpi )\right].$

Cette valeur de $\delta r$ donnera la valeur de $\delta v,$ au moyen de la formule (Y) du numéro précédent

Il nous reste à déterminer $\delta s$ ; or, si l’on compare les formules (X) et (Z) du numéro précédent, on voit que $\delta r$ se change en $\delta s$ en changeant, dans son expression, $2\int d\mathrm {R} +r{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial r}}$ en ${\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial z}}\,;$ d’où il suit que, pour avoir $\delta s,$ il suffit de faire ce changement dans l’équation différentielle en $\delta u,$ et de substituer ensuite la valeur de $\delta u,$ donnée par cette équation