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PREMIÈRE PARTIE. — LIVRE I.

système est libre d’obstacles étrangers, on aura, en égalant à zéro le coefficient de $\delta x$,

$0=\sum m\left[xd\left({\frac {dy}{dt}}{\frac {\varphi (v)}{v}}\right)-yd\left({\frac {dx}{dt}}{\frac {\varphi (v)}{v}}\right)\right]+\sum m\left(\mathrm {P} y-\mathrm {Q} x\right)dt,$

d’où l’on tire, en intégrant,

$c=\sum m{\frac {xdy-ydx}{dt}}{\frac {\varphi (v)}{v}}+\sum \int m(\mathrm {P} y-\mathrm {Q} x)dt.$

On aura pareillement

$c'=\sum m{\frac {xdz-zdx}{dt}}{\frac {\varphi (v)}{v}}+\sum \int m(\mathrm {P} z-\mathrm {R} x)dt,$ $c''=\sum m{\frac {ydz-zdy}{dt}}{\frac {\varphi (v)}{v}}+\sum \int m(\mathrm {Q} z-\mathrm {R} y)dt,$

$c,c',c''$ étant des constantes arbitraires.

Si le système n’est soumis qu’à l’action mutuelle de ses parties, on a, par le n° 21,

$\sum m(\mathrm {P} y-\mathrm {Q} x)=0,\quad \sum m(\mathrm {P} z-\mathrm {R} x)=0,\quad \sum m(\mathrm {Q} z-\mathrm {R} y)=0\,;$

d’ailleurs, $m\left(x{\frac {dy}{dt}}-y{\frac {dx}{dt}}\right){\frac {\varphi (v)}{v}}$ est le moment de la force finie dont le corps $m$ est animé, décomposée parallèlement au plan des $x$ et des $y,$ pour faire tourner le système autour de l’axe des $z\,;$ l’intégrale finie

$\sum m{\frac {xdy-ydx}{dt}}{\frac {\varphi (v)}{v}}$

est donc la somme des moments de toutes les forces finies des corps du système, pour le faire tourner autour du même axe ; cette somme est par conséquent constante. Elle est nulle dans l’état d’équilibre ; il y a donc ici la même différence entre ces deux états que relativement à la somme des forces parallèles à un axe quelconque. Dans la loi de la nature, cette propriété indique que la somme des aires, décrites autour d’un point fixe par les projections des rayons vecteurs des corps, est