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MÉCANIQUE CÉLESTE.

bres des équations (B) en fonctions de $\theta ,$ $\psi ,$ et $\varphi$ et de leurs différentielles. Mais on simplifiera considérablement le calcul, en observant que la position des trois axes principaux dépend de trois arbitraires, que l’on peut toujours déterminer de manière à satisfaire aux trois équations

$\mathrm {S} x''y''dm=0,\quad \mathrm {S} x''z''dm=0,\quad \mathrm {S} y''z''dm=0.$

Soit alors

$\mathrm {S} (y''^{2}+z''^{2})dm=\mathrm {A} ,\quad \mathrm {S} (x''^{2}+z''^{2})dm=\mathrm {B} ,\quad \mathrm {S} (x''^{2}+y''^{2})dm=\mathrm {C} ,$

et faisons, pour abréger,

${\begin{aligned}&d\varphi -d\psi \cos \theta =pdt,\\&d\psi \sin \theta \sin \varphi -d\theta \cos \varphi =qdt,\\&d\psi \sin \theta \cos \varphi +d\theta \sin \varphi =rdt.\end{aligned}}$

Les équations (B) se changeront, après toutes les réductions, dans les trois suivantes

(C)$\left\{{\begin{aligned}&\mathrm {A} q\sin \theta \sin \varphi +\mathrm {B} r\sin \theta \cos \varphi -\mathrm {C} p\cos \theta =-\mathrm {N} ,\\&\cos \psi (\mathrm {A} q\cos \theta \sin \varphi +\mathrm {B} r\cos \theta \cos \varphi +\mathrm {C} p\sin \theta )\\&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +\sin \psi (\mathrm {B} r\sin \varphi -\mathrm {A} q\cos \varphi )=-\mathrm {N} ',\\&\cos \psi (\mathrm {B} r\sin \varphi -\mathrm {A} q\cos \varphi )\\&\qquad -\sin \psi (\mathrm {A} q\cos \theta \sin \varphi +\mathrm {B} r\cos \theta \cos \varphi +\mathrm {C} p\sin \theta )=-\mathrm {N} ''.\end{aligned}}\right.$

Ces trois équations donnent, en les différentiant, et en supposant $\psi =0$ après les différentiations, ce qui revient à prendre l’axe des $x'$ infiniment près de la ligne d’intersection du plan des $x'$ et des $y'$ avec celui des $x''$ et des $y'',$

${\begin{aligned}d\theta \cos \theta \cdot (\mathrm {B} r\cos \varphi +\mathrm {A} q\sin \varphi )+\sin \theta \cdot d(\mathrm {B} r\cos \varphi +\mathrm {A} q\sin \varphi )\ \ \quad \qquad &\\-d(\mathrm {C} p\sin \theta )=-d\mathrm {N} ,&\\d\psi (\mathrm {B} r\sin \varphi -\mathrm {A} q\cos \varphi )-d\theta \sin \theta \cdot d(\mathrm {B} r\cos \varphi +\mathrm {A} q\sin \varphi )\qquad \qquad \quad &\\+\cos \theta \cdot d(\mathrm {B} r\cos \varphi +\mathrm {A} q\sin \varphi )+d(\mathrm {C} p\sin \theta )=-d\mathrm {N'} ,&\\d(\mathrm {B} r\sin \varphi -\mathrm {A} q\cos \varphi )-d\psi \cos \theta \cdot (\mathrm {B} r\cos \varphi +\mathrm {A} q\sin \varphi )\qquad \qquad \qquad &\\-\mathrm {C} pd\psi \sin \theta =-d\mathrm {N''} .&\end{aligned}}$

Si l’on fait

$\mathrm {C} p=p',\mathrm {A} q=q',\mathrm {B} r=r',$