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PREMIÈRE PARTIE. — LIVRE I.

toujours supposée au centre de gravité, les équations (Z) du numéro précédent peuvent être mises sous la forme

${\begin{aligned}&c\ \sum m=\sum mm'{\frac {\left(x'-x\right)\left(dy'-dy\right)-\left(y'-y\right)\left(dx'-dx\right)}{dt}},\\\\&c'\,\sum m=\sum mm'{\frac {\left(x'-x\right)\left(dz'-dz\right)-\left(z'-z\right)\left(dx'-dx\right)}{dt}},\\\\&c''\sum m=\sum mm'{\frac {\left(y'-y\right)\left(dz'-dz\right)-\left(z'-z\right)\left(dy'-dy\right)}{dt}}.\end{aligned}}$

On peut observer que les seconds membres de ces équations multipliées par $dt$ expriment la somme des projections des aires élémentaires tracées par chaque droite qui joint deux corps du système, dont l’un est supposé se mouvoir autour de l’autre considéré comme immobile, chaque aire étant multipliée par le produit des deux masses que joint la droite.

Si l’on applique aux équations précédentes l’analyse du n° 21, on verra que le plan passant constamment par l’un quelconque des corps du système, et relativement auquel la fonction

$\sum mm'{\frac {\left(x'-x\right)\left(dy'-dy\right)-\left(y'-y\right)\left(dx'-dx\right)}{dt}}$

est un maximum, reste toujours parallèle à lui-même dans le mouvement du système, et que ce plan est parallèle au plan passant par le centre de gravité, et relativement auquel la fonction $\sum m{\frac {xdy-ydx}{dt}}$ est un maximum. On verra encore que les seconds membres des équations précédentes sont nuls relativement à tout plan passant par le même corps et perpendiculaire au plan dont il s’agit.

L’équation (Q) du n° 19 peut être mise sous la forme

$\sum mm'{\frac {\left(dx'-dx\right)^{2}+\left(dy'-dy\right)+\left(dz'-dz\right)\left(dx'-dx\right)}{dt}}$

$=\mathrm {const.} -2\sum m\cdot \sum \int mm'\mathrm {F} df,$

équation relative aux seules coordonnées des distances mutuelles des corps, et dans laquelle le premier membre exprime la somme des car-