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Si l’on substitue dans cette équation, au lieu de $c,c',c'',\ldots ,$ leurs valeurs ${\rm {V,V',V'',\ldots ,}}$ on aura une équation différentielle de l’ordre $i-1,$ sans arbitraires, ce qui est impossible, à moins que cette équation ne soit identiquement nulle. La fonction

$\delta \varphi -dt({\rm {SP+S'P'+\ldots }})$

devient donc identiquement nulle, en vertu des équations $c=\mathrm {V} ,\ c'=\mathrm {V'} ,\ldots ,$ et, comme ces équations ont encore lieu lorsque les paramètres $c,c',c'',\ldots$ sont variables, il est visible que, dans ce cas, la fonction précédente est encore identiquement nulle ; l’équation (t) deviendra donc

(x)

$0={\frac {\partial \varphi }{\partial c}}dc+{\frac {\partial \varphi }{\partial c'}}dc'+\ldots -\alpha dt({\rm {SQ+S'Q'+\ldots }}).$

On voit ainsi que, pour différentier l’équation $\varphi =0,$ il suffit de faire varier dans $\varphi$ les paramètres $c,c',\ldots$ et les différences $d^{i-1}y,d^{i-1}y',\ldots$ et de substituer, après les différentiations, $-\alpha Q,-\alpha Q',\ldots ,$ au lieu des quantités ${\frac {d^{i}y}{dt^{i}}},$${\frac {d^{i}y'}{dt^{i}}},\ldots$

Soit $\psi =0$ une équation finie entre $y,y',\ldots$ et la variable $t$ si l’on désigne par $\delta \psi ,\delta ^{2}\psi ,\ldots$ les différences successives de $\psi ,$ prises en regardant $c,c',\ldots$ comme constants, on aura, par ce qui précède, dans le cas même où $c,c',\ldots$ sont variables, les équations suivantes

$\psi =0,\quad \delta \psi =0,\quad \delta ^{2}\psi =0,\ldots ,\delta ^{i-1}\psi =0\,;$

en changeant donc successivement, dans l’équation (x), la fonction $\varphi$ en $\psi ,\delta \psi ,\delta ^{2}\psi ,\ldots ,$ on aura

${\begin{aligned}&0={\frac {\partial \psi }{\partial c}}dc+{\frac {\partial \psi }{\partial c'}}dc'+\ldots \\\\&0={\frac {\partial \delta \psi }{\partial c}}dc+{\frac {\partial \delta \psi }{\partial c'}}dc'+\ldots \\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&0={\frac {\partial \delta ^{i-1}\psi }{\partial c}}dc+{\frac {\partial \delta ^{i-1}\psi }{\partial c'}}dc'+\ldots -\alpha dt\left(\mathrm {Q} {\frac {\partial \psi }{\partial y}}+\mathrm {Q} '{\frac {\partial \psi }{\partial y'}}+\ldots \right).\end{aligned}}$

Ainsi, les équations $\psi =0,\ \psi '=0,\ldots$ étant supposées être les $n$ inté-