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Dans le cercle, $a=r,$ et alors $r-r'={\frac {1}{3}}r\,;$ dans l’ellipse, on a $r-r'<{\frac {1}{2}}r\,;\ a$ étant infini dans la parabole, on a $r-r'={\frac {1}{2}}r\,;$ et dans l’hyperbole, où $a$ est négatif, on a $r-r'>{\frac {1}{2}}r.$

27. L’équation

$0={\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}}-\mu \left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)$

est remarquable en ce qu’elle donne la vitesse indépendamment de l’excentricité de l’orbite. Elle est renfermée dans une équation plus générale qui existe entre le grand axe de l’orbite, la corde de l’arc elliptique, la somme des rayons vecteurs extrêmes, et le temps employé à décrire cet arc. Pour parvenir à cette dernière équation, nous reprendrons les équations du mouvement elliptique, données dans le n^o 20, en y supposant, pour plus de simplicité, $\mu =1.$ Ces équations deviennent ainsi

${\begin{aligned}r&={\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{1+e\cos v}},\\\\r&=a(1-e\cos u),\\\\t&=a^{\frac {3}{2}}(u-e\sin u).\end{aligned}}$

Supposons que $r,v,u$ et $t$ correspondent à la première extrémité de l’arc elliptique, et que $r',v',u'$ et $t'$ correspondent à l’autre extrémité; on aura

${\begin{aligned}r'&={\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{1+e\cos v'}},\\\\r'&=a(1-e\cos u'),\\\\t'&=a^{\frac {3}{2}}(u'-e\sin u').\end{aligned}}$

Soient

$t'-t=\scriptstyle \mathrm {T} ,\quad {\frac {u'-u}{2}}={\text{ϐ}},\quad {\frac {u'+u}{2}}={\text{ϐ}}',\quad r'+r=\mathrm {R} \,;$

si l’on retranche l’expression de $t$ de celle de $t',$ et si l’on observe que

$\sin u'-\sin u=2\sin {\text{ϐ}}\cos {\text{ϐ}}',$