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En intégrant cette équation dans la supposition de $e$ et de $\varpi$ constants, on aura

$\int ndt+\varepsilon =v+{\rm {E}}^{(1)}\sin(v-\varpi )+{\frac {{\rm {E}}^{(2)}}{2}}\sin 2(v-\varpi )+\ldots ,$

$\varepsilon$ étant une arbitraire. Cette intégrale est relative à l’ellipse invariable ; pour l’étendre à l’ellipse troublée, il faut qu’en y faisant tout varier jusqu’aux arbitraires $\varepsilon ,e$ et $\varpi$ qu’elle renferme, sa différentielle coïncide avec la précédente ; ce qui donne

$d\varepsilon =de\left[{\frac {{\rm {dE}}^{(1)}}{de}}\sin(v-\varpi )+{\frac {1}{2}}{\frac {{\rm {dE}}^{(2)}}{de}}\sin 2(v-\varpi )+\ldots \right]$

$-d\varpi \left[{\rm {E}}^{(1)}\cos(v-\varpi )+{\rm {E}}^{(2)}\cos 2(v-\varpi )+\ldots \right].$

$v-\varpi$ est l’anomalie vraie de $m$ comptée sur l’orbite, et $\varpi$ est la longitude du périhélie comptée pareillement sur l’orbite. Nous avons déterminé précédemment la longitude ${\rm {I}}$ de la projection du périhélie sur le plan fixe ; or on a, par le n^o 22, en changeant $v$ en $\varpi ,$ et $v_{1}$, en ${\rm {I}}$ dans l’expression de $v-{\text{ϐ}}$ de ce numéro,

$\varpi -{\text{ϐ}}={\rm {I}}-\theta +\operatorname {tang} ^{2}{\frac {1}{2}}\varphi \sin 2({\rm {I}}-\theta )+\ldots$

En supposant ensuite $v$ et $v_{1}$ nuls dans cette même expression, on a

${\text{ϐ}}=\theta +\operatorname {tang} ^{2}{\frac {1}{2}}\varphi \sin 2\theta +\ldots \,;$

partant

$\varpi ={\rm {I}}+\operatorname {tang} ^{2}{\frac {1}{2}}\varphi \left[\sin 2\theta +\sin 2({\rm {I}}-\theta )\right]+\ldots ,$

ce qui donne

${\begin{aligned}d\varpi =&d{\rm {I}}\left[1+2\operatorname {tang} ^{2}{\frac {1}{2}}\varphi \cos 2({\rm {I}}-\theta )\right]\\&\qquad \qquad \qquad +2d\theta \operatorname {tang} ^{2}{\frac {1}{2}}\varphi \left[\cos 2\theta -\cos 2({\rm {I}}-\theta )+\ldots \right]\\&\qquad \qquad \qquad +{\frac {d\varphi \operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\varphi }{\cos ^{2}{\frac {1}{2}}\varphi }}\left[\sin 2\theta +\sin 2({\rm {I}}-\theta )+\ldots \right].\end{aligned}}$

Ainsi, les valeurs de $d{\rm {I}},d\theta$ et $d\varphi$ étant déterminées par ce qui précède, on aura celle de $d\varpi$, d’où l’on tirera la valeur de $d\varepsilon .$

Il suit de là que les expressions en séries du rayon vecteur, de sa