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en fonction de $u$ et de ses différences prises par rapport $t,t',\ldots \,;$ en nommant ${\rm {F}}$ cette fonction lorsqu’on y change $u$ dans $\mathrm {u,\ u}$ étant ce que devient $u$ lorsqu’on y suppose $\alpha ,\alpha ',\ldots$ égaux à zéro, il est visible que l’on aura $q_{n,n',\ldots },$ en divisant ${\rm {F}}$ par le produit $1.2.3\ldots n.1.2.3\ldots n'\ldots \,;$ on aura donc la loi de la série dans laquelle $u$ est développé.

Soit d’abord $u$ égal à une fonction quelconque de $t+\alpha ,t'+\alpha ',t''+\alpha '',\ldots ,$ que nous désignerons par $\varphi (t+\alpha ,t'+\alpha ',t''+\alpha '',\ldots )\,;$ dans ce cas, la différence quelconque i^ième de $u,$ prise par rapport à $\alpha$ et divisée par $d\alpha ^{i},$ est évidemment égale à cette même différence prise par rapport à $t$ et divisée par $dt^{i}.$ La même égalité a lieu entre les différences prises par rapport à $\alpha '$ et $t'$ ou par rapport à $\alpha ''$ et $t''$, etc. ; d’où il suit que l’on a généralement

${\frac {\partial ^{n+n'+n''+\ldots }u}{\partial \alpha ^{n}\partial \alpha '^{n'}\partial \alpha ''^{n''}\ldots }}={\frac {\partial ^{n+n'+n''+\ldots }u}{\partial t^{n}\partial t'^{n'}\partial t''^{n''}\ldots }}.$

En changeant dans le second membre de cette équation $u$ en $\mathrm {u} ,$ c’est-à-dire en $\varphi (t,t',t'',\ldots ),$ on aura, par ce qui précède,

$q_{n,n',n'',\ldots }={\frac {\frac {\partial ^{n+n'+n''+\ldots }\varphi (t,t',t'',\ldots )}{\partial t^{n}\partial t'^{n'}\partial t''^{n''}\ldots }}{1.2.3\ldots n.1.2.3\ldots n'.1.2.3\ldots n''\ldots }}.$

Si $u$ est seulement fonction de $t+\alpha ,$ on aura

$q_{n}={\frac {d^{n}\varphi (t)}{1.2.3\ldots ndt^{n}}},$

partant

(i)

$\varphi (t+\alpha )=\varphi (t)+\alpha {\frac {d\varphi (t)}{dt}}+{\frac {\alpha ^{2}}{1.2}}{\frac {d^{2}\varphi (t)}{dt^{2}}}+{\frac {\alpha ^{3}}{1.2.3}}{\frac {d^{3}\varphi (t)}{dt^{3}}}+\ldots$

Supposons ensuite que $u,$ au lieu d’être donné immédiatement en $\alpha$ et $t$ comme dans le cas précédent, soit une fonction de $x,\ x$ étant donné par l’équation aux différences partielles ${\frac {\partial x}{\partial \alpha }}=z{\frac {\partial x}{\partial t}},$ dans laquelle $z$ est une fonction quelconque de $x.$ Pour réduire $u$ dans une suite ordonnée par rapport aux puissances de $\alpha ,$ il faut déterminer la valeur de ${\frac {\partial ^{n}u}{\partial \alpha ^{n}}}$