Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 1.djvu/44

8

MÉCANIQUE CÉLESTE

$dx$ l’angle ${{\frac {\pi }{2}}-\theta },$ on a

${dx''=\varphi \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)dx={\frac {ydx}{z}}},$

partant

$d\theta =-{\frac {ydx}{kz^{2}}}.$

Si l’on fait varier la force $y$ de $dy,$ en supposant $x$ constant, on aura la variation correspondante de l’angle $\theta ,$ en changeant dans l’équation précédente $x$ en $y,$ $y$ en $x,$ et $\theta$ dans ${\frac {\pi }{2}}-\theta \ ;$ ce qui donne

$d\theta ={\frac {xdy}{kz^{2}}}\ ;$

en faisant donc varier à la fois $x$ et $y,$ la variation totale de l’angle $\theta$ sera ${\frac {xdy-ydx}{kz^{2}}}$ et l’on aura

${\frac {xdy-ydx}{z^{2}}}=kd\theta .$

Substituant pour $z^{2}$ sa valeur $x^{2}+y^{2}$ et intégrant, on aura

${\frac {y}{x}}=\operatorname {tang} \left(k\theta +\rho \right),$

$\rho$ étant une constante arbitraire. Cette équation, combinée avec celle-ci $x^{2}+y^{2}=z^{2},$ donne

$x=z\cos \left(k\theta +\rho \right).$

Il ne s’agit plus que de connaître les deux constantes $k$ et $\rho \ ;$ ; or, si l’on suppose $y$ nul, on a évidemment $z=x$ et $\theta =0\ ;$ donc $\cos \rho =1$ et $x=z\cos k\theta .$ Si l’on suppose $x$ nul, on a $z=y$ et $\theta ={\frac {1}{2}}{\pi }\ ;$ $\cos k\theta$ étant alors égal à zéro, $k$ doit être égal à $2n+1,$ $n$ étant un nombre entier, et dans ce cas $x$ sera nul toutes les fois que $\theta$ sera égal à ${\frac {{\frac {1}{2}}{\pi }}{2n+1}}\ ;$ mais, $x$ étant nul, on a évidemment $\theta ={\frac {1}{2}}{\pi }\ ;$ donc $2n+1=1,$ ou $n=0,$ et, par conséquent,

$x=z\cos \theta .$