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arbitraires $a,e$ et $\varpi$ de cette équation se réduisent donc à deux seules arbitraires distinctes, et, comme l’équation différentielle entre $r$ et $v$ n’est que du second ordre, l’équation finie aux sections coniques en est l’intégrale complète.

Il suit de là que, si la courbe décrite est une section conique, la force est en raison inverse du carré des distances ; et réciproquement que, si la force suit la raison inverse du carré des distances, la courbe décrite est une section conique.

3. L’intensité de la force $\varphi ,$ relativement à chaque planète et à chaque comète, dépend du coefficient ${\frac {c^{2}}{a\left(1-e^{2}\right)}}\,;$ les lois de Kepler donnent encore le moyen de le déterminer. En effet, si l’on nomme ${\rm {T}}$ le temps de la révolution d’une planète, l’aire que son rayon vecteur décrit pendant ce temps étant la surface même de l’ellipse planétaire, elle sera $\pi a^{2}{\sqrt {1-e^{2}),\ \pi }}$ étant le rapport de la demi-circonférence au rayon ; mais l’aire décrite pendant l’instant $dt$ est, par ce qui précède, ${\frac {1}{2}}cdt\,;$ la loi de la proportionnalité des aires aux temps donnera donc la proportion

${\frac {1}{2}}cdt:\pi a^{2}{\sqrt {1-e^{2}}}//dt:\mathrm {T} ,$

d’où l’on tire

$c={\frac {2\pi a^{2}{\sqrt {1-e^{2}}}}{\mathrm {T} }}.$

Relativement aux planètes, la loi de Kepler, suivant laquelle les carrés des temps de leurs révolutions sont comme les cubes des grands axes de leurs ellipses, donne $\mathrm {T} ^{2}=k^{2}a^{3},\ k$ étant le même pour toutes les planètes ; on a donc

$c={\frac {2\pi {\sqrt {a\left(1-e^{2}\right)}}}{k}}.$

$2a\left(1-e^{2}\right)$ est le paramètre de l’orbite, et dans diverses orbites les valeurs de $c$ sont comme les aires tracées par les rayons vecteurs en temps égal ; ces aires sont donc comme les racines carrées des paramètres des orbites.