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MÉCANIQUE CÉLESTE.

subsistent, les forces

$-md{\frac {dx}{dt}}+m\mathrm {P} dt,\quad -md{\frac {dy}{dt}}+m\mathrm {Q} dt,\quad -md{\frac {dz}{dt}}+m\mathrm {R} dt\ ;$

seront détruites. En marquant dans ces expressions successivement d’un trait, de deux traits, … les lettres $m,x,y,z,{\rm {P,Q,R,}}$ on aura les forces détruites dans les corps $m',m'',\ldots$ Cela posé, si l’on multiplie respectivement ces forces par les variations $\delta x,\delta y,\delta z,\delta x',\ldots$ de leurs directions, le principe des vitesses virtuelles, exposé dans le n° 14, donnera, en supposant $dt$ constant, l’équation suivante

(P)

${\begin{cases}0=m\partial x\left({\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}\ -\mathrm {P} \ \right)+m\ \partial y\ \left({\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}\ \,-\mathrm {Q} \ \right)+m\,\partial z\,\left({\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\ \,-\mathrm {R} \right)\\{}+m'\partial x'\left({\frac {d^{2}x'}{dt^{2}}}-\mathrm {P} '\right)+m'\partial y'\left({\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}-\mathrm {Q} '\right)+m'\partial z'\left({\frac {d^{2}z'}{dt^{2}}}-\mathrm {R} '\right)\\{}+\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \end{cases}}$

On éliminera de cette équation, au moyen des conditions particulières du système, autant de variations qu’il y a de ces conditions ; en égalant ensuite séparément à zéro les coefficients des variations restantes, on aura toutes les équations nécessaires pour déterminer le mouvement des différents corps du système.

19. L’équation (P) renferme plusieurs principes généraux du mouvement, que nous allons développer. On assujettira évidemment les variations $\delta x,\delta y,\delta z,\delta x',\ldots$ à toutes les conditions de la liaison des parties du système, en les supposant égales aux différences $dx,dy,dz,dx',\ldots$ Cette supposition est donc permise, et alors l’équation (P) donne, en l’intégrant,

(Q)

$\sum m{\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}}=c+2\sum \int m\left(\mathrm {P} dx+\mathrm {Q} dy+\mathrm {R} dz\right),$

$c$ étant une constante arbitraire introduite par l’intégration.

Si les forces ${\rm {P,Q,R}}$ sont le résultat de forces attractives dirigées vers des points fixes, et des forces attractives des corps les uns vers les