Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 1.djvu/106

Cette page a été validée par deux contributeurs.

70

MÉCANIQUE CÉLESTE.

${\rm {P,Q,R}}$ ne dépendent que des coordonnées $x_{1},\,y_{1},\,z_{1},\,x'_{1},\cdots$ En lui appliquant donc l’analyse précédente, on en tirera les principes de la conservation des forces vives et des aires par rapport à l’origine mobile des coordonnées.

Si le système n’éprouve point l’action de forces étrangères, son centre de gravité aura un mouvement rectiligne et uniforme dans l’espace, comme on l’a vu dans le n° 20 ; en fixant donc à ce centre l’origine des coordonnées $x,\,y,\,z,$ ces principes subsisteront toujours. ${\rm {X,\,Y,\,Z}}$ étant alors les coordonnées du centre de gravité, on aura, par la nature de ce point,

0=\sum mx_{1},\qquad 0=\sum my_{1},\qquad 0=\sum mz_{1},

ce qui donne

{\begin{aligned}&\sum m{\frac {xdy-ydx}{dt}}={\frac {\mathrm {X} d\mathrm {Y} -\mathrm {Y} d\mathrm {X} }{dt}}\sum m+\sum m{\frac {x_{1}dy_{1}-y_{1}dx_{1}}{dt}},\cdots ,\\\\&\sum m{\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}}={\frac {d\mathrm {X} ^{2}+d\mathrm {Y} ^{2}+d\mathrm {Z} ^{2}}{dt^{2}}}\sum m+\sum m{\frac {dx_{1}^{2}+dy_{1}^{2}+dz_{1}^{2}}{dt^{2}}}.\end{aligned}}

Ainsi les quantités résultantes des principes précédents se composent : 1^o des quantités qui auraient lieu si tous les corps du système étaient réunis à leur centre commun de gravité ; 2^o des quantités relatives au centre de gravité supposé immobile ; et, comme les premières de ces quantités sont constantes, on voit la raison pour laquelle les principes dont il s’agit ont lieu par rapport au centre de gravité. En fixant donc à ce point l’origine des coordonnées $x,\,y,\,z,\,x',\,\cdots$ des équations (Z) du numéro précédent, elles subsisteront toujours ; d’où il résulte que le plan passant constamment par ce centre, et relativement auquel la fonction $\sum \,m\,{\frac {x\,dy-y\,dx}{dt}}$ est un maximum, reste toujours parallèle à lui-même pendant le mouvement du système, et que la même fonction relative à tout autre plan qui lui est perpendiculaire est nulle.

Les principes de la conservation des aires et des forces vives peuvent se réduire à des relations entre les coordonnées des distances mutuelles des corps du système. En effet, l’origine des $x,$ des $y$ et des $z$ étant