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$\pi +{\text{ϐ}}$ sera la longitude héliocentrique de la comète à l’instant de la seconde observation, et, si l’on marque d’un trait les quantités $r,\alpha ,\rho ,{\rm {R}}$ et ${\rm {E,}}$ relatives à ce même instant, on aura

${\begin{aligned}&r'\sin {\text{ϐ}}={\rm {R'\sin E'-\rho '\sin \alpha ',}}\\&r'\cos {\text{ϐ}}={\rm {R'\cos E'-\rho '\cos \alpha '.}}\end{aligned}}$

Ces quatre équations donnent

$\operatorname {tang} {\text{ϐ}}={\rm {{\frac {\rho \sin \alpha -R\sin E}{\rho \cos \alpha -R\cos E}}={\frac {\rho '\sin \alpha '-R'\sin E'}{\rho '\cos \alpha '-R'\cos E'}},}}$

d’où l’on tire

$\rho '={\rm {{\frac {RR'\sin(E-E')-R'\rho \sin(\alpha -E')}{\rho \sin(\alpha '-\alpha )-R\sin(\alpha '-E)}}.}}$

On a ensuite

${\begin{aligned}&(r+r')\sin {\text{ϐ}}=\rho \sin \alpha -\rho '\sin \alpha -{\rm {R\sin E+R'\sin E',}}\\&(r+r')\cos {\text{ϐ}}=\rho \cos \alpha -\rho '\cos \alpha -{\rm {R\cos E+R'\cos E'.}}\end{aligned}}$

En carrant ces deux équations, en les ajoutant ensuite, et substituant $c$ au lieu de $r+r',$ on aura

${\begin{aligned}c^{2}=&{\rm {R^{2}-2RR'\cos(E'-E)+R'^{2}}}\\&+2\rho \,{\rm {\left[R'\cos(\alpha -E')-R\,\cos(\alpha -E)\right]}}\\&+2\rho '{\rm {\left[R\,\cos(\alpha '-E)-R'\cos(\alpha '-E)\right]}}\\&+\rho ^{2}-2\rho \rho '\cos(\alpha '-\alpha )+\rho '^{2}.\end{aligned}}$

Si l’on substitue dans cette équation, au lieu de $\rho ',$ sa valeur précédente en $\rho ,$ on aura une équation en $\rho ,$ du quatrième degré, que l’on pourra résoudre par les méthodes connues ; mais il sera plus simple de supposer à $\rho$ une valeur quelconque, d’en conclure la valeur de $\rho ',$ de substituer ces valeurs de $\rho$ et de $\rho '$ dans l’équation précédente, et de voir si elles y satisfont. Un petit nombre d’essais suffira pour déterminer avec précision $\rho$ et $\rho '.$

Au moyen de ces quantités, on aura ${\text{ϐ}},r$ et $r'.$ Si l’on nomme $v$ l’angle que le rayon $r$ fait avec la distance périhélie, que nous désignerons par $\mathrm {D} ,\ \pi -v$ sera l’angle formé par cette même distance et par le