sera la longitude héliocentrique de la comète à l’instant de la seconde observation, et, si l’on marque d’un trait les quantités
et
relatives à ce même instant, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}&r'\sin {\text{ϐ}}={\rm {R'\sin E'-\rho '\sin \alpha ',}}\\&r'\cos {\text{ϐ}}={\rm {R'\cos E'-\rho '\cos \alpha '.}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36eafdcce331cceedca85657ec6b7e8563c78614)
Ces quatre équations donnent
![{\displaystyle \operatorname {tang} {\text{ϐ}}={\rm {{\frac {\rho \sin \alpha -R\sin E}{\rho \cos \alpha -R\cos E}}={\frac {\rho '\sin \alpha '-R'\sin E'}{\rho '\cos \alpha '-R'\cos E'}},}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ba35f3d9b02a70143c9fd4ba596adb4a4aa8d63)
d’où l’on tire
![{\displaystyle \rho '={\rm {{\frac {RR'\sin(E-E')-R'\rho \sin(\alpha -E')}{\rho \sin(\alpha '-\alpha )-R\sin(\alpha '-E)}}.}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8f268edab121eef6a77467ecfdff17948192be5)
On a ensuite
![{\displaystyle {\begin{aligned}&(r+r')\sin {\text{ϐ}}=\rho \sin \alpha -\rho '\sin \alpha -{\rm {R\sin E+R'\sin E',}}\\&(r+r')\cos {\text{ϐ}}=\rho \cos \alpha -\rho '\cos \alpha -{\rm {R\cos E+R'\cos E'.}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4efb9203e3caec7fddc271f514d92456f5670908)
En carrant ces deux équations, en les ajoutant ensuite, et substituant
au lieu de
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}=&{\rm {R^{2}-2RR'\cos(E'-E)+R'^{2}}}\\&+2\rho \,{\rm {\left[R'\cos(\alpha -E')-R\,\cos(\alpha -E)\right]}}\\&+2\rho '{\rm {\left[R\,\cos(\alpha '-E)-R'\cos(\alpha '-E)\right]}}\\&+\rho ^{2}-2\rho \rho '\cos(\alpha '-\alpha )+\rho '^{2}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/684a42a0545feae22cef6c9079233a5adb585b01)
Si l’on substitue dans cette équation, au lieu de
sa valeur précédente en
on aura une équation en
du quatrième degré, que l’on pourra résoudre par les méthodes connues ; mais il sera plus simple de supposer à
une valeur quelconque, d’en conclure la valeur de
de substituer ces valeurs de
et de
dans l’équation précédente, et de voir si elles y satisfont. Un petit nombre d’essais suffira pour déterminer avec précision
et ![{\displaystyle \rho '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfa47785f4d4a551d64efafb7e19621d4d9a220f)
Au moyen de ces quantités, on aura
et
Si l’on nomme
l’angle que le rayon
fait avec la distance périhélie, que nous désignerons par
sera l’angle formé par cette même distance et par le