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on aura donc

$m'({\rm {M}}+m')an\zeta '+m({\rm {M}}+m)a'n'\zeta =0.$

On a ensuite

$n={\frac {\sqrt {{\rm {M}}+m}}{a^{\frac {3}{2}}}},\qquad n'={\frac {\sqrt {{\rm {M}}+m'}}{a'^{\frac {3}{2}}}}\,;$

en négligeant donc $m$ et $m'$ vis-à-vis de ${\rm {M,}}$ on aura

$m{\sqrt {a}}.\zeta +m'{\sqrt {a'}}.\zeta '=0,$

ou

$\zeta '=-{\frac {m{\sqrt {a}}}{m'{\sqrt {a'}}}}\zeta .$

Ainsi les inégalités de $\zeta$ qui ont pour diviseur $(i'n'-in)^{2}$ feront connaître celles de $\zeta '$ qui ont le même diviseur. Ces inégalités sont, comme l’on voit, affectées de signes contraires, si $n$ et $n'$ sont de même signe, ou, ce qui revient au même, si les deux corps $m$ et $m'$ tournent dans le même sens ; elles sont d’ailleurs dans un rapport constant ; d’où il suit que, si elles paraissent accélérer le moyen mouvement de $m,$ elles paraîtront retarder celui de $m'$ suivant la même loi, et l’accélération apparente de $m$ sera au retardement apparent de $m'$ comme $m'{\sqrt {a'}}$ est à $m{\sqrt {a}}.$ L’accélération du moyen mouvement de Jupiter et le ralentissement de celui de Saturne, que la comparaison des observations modernes aux anciennes avait fait connaître à Halley, étant à fort peu près dans ce rapport, je conclus du théorème précédent qu’ils sont dus à l’action mutuelle de ces deux planètes, et, puisqu’il est constant que cette action ne peut produire dans les moyens mouvements aucune altération indépendante de la configuration des planètes, je ne balançai point à croire qu’il existe dans la théorie de Jupiter et de Saturne une grande inégalité périodique, d’une fort longue période. En considérant ensuite que cinq fois le moyen mouvement de Saturne, moins deux fois celui de Jupiter, est à très-peu près égal à zéro, il me parut vraisemblable que le phénomène observé par Halley avait pour cause une iné-