Considérons présentement le terme
![{\displaystyle -{\frac {2a\sin v\int ndt\left(r\cos v\int d{\rm {R}}\right)}{\mu {\sqrt {1-e^{2}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/670ec592523bee800301dc23c8c660610ac8be4a)
de l’expression de
. En substituant pour
sa valeur précédente en
ce terme devient
![{\displaystyle {\frac {2a\sin v\int ndt\left[r-a\left(1-e^{2}\right)\right]\int d{\rm {R}}}{\mu e{\sqrt {1-e^{2}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bf0f9cfd572fac552e544e59d519e7c33a2ef19)
On a, par le no 22,
![{\displaystyle r=a\left(1+{\frac {1}{2}}e^{2}+e\chi '\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/572774e6b2955d9d89b22f7eedca1573d2a2c067)
étant une suite infinie de cosinus de l’angle
et de ses multiples ; on aura donc
![{\displaystyle {\frac {1}{e}}\int ndt\left[r-a\left(1-e^{2}\right)\right]\int d{\rm {R}}=a\int ndt\left({\frac {3}{2}}e+\chi '\right)\int d{\rm {R}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6a7e8b7df6ff07a1d6ae2d75844d77db8927d4b)
Nommons
l’intégrale
on aura
![{\displaystyle a\int ndt\left({\frac {3}{2}}e+\chi '\right)\int d{\rm {R}}={\frac {3}{2}}ae\int ndt\int d{\rm {R}}+a\chi ''\int d{\rm {R}}-a\int \chi ''\int d{\rm {R}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e20270d93636090edfacf231e72b63438f3c31a5)
Ces deux derniers termes ne renfermant point le double signe intégral, il ne peut en résulter aucun terme qui ait
pour diviseur ; en n’ayant donc égard qu’aux termes de ce genre, on aura
![{\displaystyle -{\frac {2a\sin v\int ndt\left(r\cos v\int d{\rm {R}}\right)}{\mu {\sqrt {1-e^{2}}}}}={\frac {3a^{2}e\sin v\int ndt\int d{\rm {R}}}{\mu {\sqrt {1-e^{2}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2e62dc02690fb91a2aee59766cb59564202a51f)
![{\displaystyle ={\frac {dr}{ndt}}{\frac {3a}{\mu }}\int ndt\int d{\rm {R}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c66974b195a674875bdb7b50ef675ba9e88f7546)
et le rayon
deviendra
![{\displaystyle (r)+\left({\frac {dr}{ndt}}\right){\frac {3a}{\mu }}\int ndt\int d{\rm {R}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71230a9615a0a4e0a0a6e4331ccf21e224f07acf)
et
étant les expressions de
et de
relatives au mouvement elliptique. Ainsi, pour avoir égard, dans l’expression du rayon vecteur, à la partie des perturbations qui est divisée par
il suffit