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Considérons présentement le terme

$-{\frac {2a\sin v\int ndt\left(r\cos v\int d{\rm {R}}\right)}{\mu {\sqrt {1-e^{2}}}}}$

de l’expression de $\delta r$. En substituant pour $\cos v$ sa valeur précédente en $r,$ ce terme devient

${\frac {2a\sin v\int ndt\left[r-a\left(1-e^{2}\right)\right]\int d{\rm {R}}}{\mu e{\sqrt {1-e^{2}}}}}$

On a, par le n^o 22,

$r=a\left(1+{\frac {1}{2}}e^{2}+e\chi '\right),$

$\chi '$ étant une suite infinie de cosinus de l’angle $nt+\varepsilon$ et de ses multiples ; on aura donc

${\frac {1}{e}}\int ndt\left[r-a\left(1-e^{2}\right)\right]\int d{\rm {R}}=a\int ndt\left({\frac {3}{2}}e+\chi '\right)\int d{\rm {R}}.$

Nommons $\chi ''$ l’intégrale $\int \chi 'ndt\,;$ on aura

$a\int ndt\left({\frac {3}{2}}e+\chi '\right)\int d{\rm {R}}={\frac {3}{2}}ae\int ndt\int d{\rm {R}}+a\chi ''\int d{\rm {R}}-a\int \chi ''\int d{\rm {R}}.$

Ces deux derniers termes ne renfermant point le double signe intégral, il ne peut en résulter aucun terme qui ait $\alpha ^{2}$ pour diviseur ; en n’ayant donc égard qu’aux termes de ce genre, on aura

$-{\frac {2a\sin v\int ndt\left(r\cos v\int d{\rm {R}}\right)}{\mu {\sqrt {1-e^{2}}}}}={\frac {3a^{2}e\sin v\int ndt\int d{\rm {R}}}{\mu {\sqrt {1-e^{2}}}}}$

$={\frac {dr}{ndt}}{\frac {3a}{\mu }}\int ndt\int d{\rm {R}},$

et le rayon $r$ deviendra

$(r)+\left({\frac {dr}{ndt}}\right){\frac {3a}{\mu }}\int ndt\int d{\rm {R}},$

$(r)$ et $\left({\frac {dr}{ndt}}\right)$ étant les expressions de $r$ et de ${\frac {dr}{ndt}}$ relatives au mouvement elliptique. Ainsi, pour avoir égard, dans l’expression du rayon vecteur, à la partie des perturbations qui est divisée par $\alpha ^{2}$ il suffit