On voit ainsi que, pour déterminer les valeurs de
et de ses différences successives, il suffit de connaître celles de
et de
On déterminera ces deux quantités de la manière suivante.
Si l’on nomme
le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité, on pourra mettre l’expression de
sous cette forme
![{\displaystyle \lambda ^{-s}=\left(1-\alpha c^{\theta {\sqrt {-1}}}\right)^{-s}\left(1-\alpha c^{-\theta {\sqrt {-1}}}\right)^{-s}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/009ab901d9d5905ba821946fb4b043cfff0ed2c8)
En développant le second membre de cette équation par rapport aux puissances de
et de
il est visible que les deux exponentielles
et
auront le même coefficient, que nous désignerons par
La somme des deux termes
et
est
ce sera la valeur de
on aura donc
Maintenant l’expression de
est égale au produit des deux séries
![{\displaystyle {\begin{aligned}&1+s\alpha c^{\theta {\sqrt {-1}}}+{\frac {s(s+1)}{1.2}}\alpha ^{2}c^{2\theta {\sqrt {-1}}}+\ldots ,\\\\&1+s\alpha c^{-\theta {\sqrt {-1}}}+{\frac {s(s+1)}{1.2}}\alpha ^{2}c^{-2\theta {\sqrt {-1}}}+\ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da741e542fcd3f7304a275e7a7978838529a9a04)
en multipliant donc ces deux séries l’une par l’autre, on aura, dans le cas de
,
![{\displaystyle k=1+s^{2}\alpha ^{2}+\left({\frac {s(s+1)}{1.2}}\right)^{2}\alpha ^{4}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3ba8e86fe9d7233d59266217209beaccd46eca0)
et, dans le cas de ![{\displaystyle i=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4df6c2abd4b8e18dd6c25c5ea7ee1934495e711d)
![{\displaystyle k=\alpha \left(s+s{\frac {s(s+1)}{1.2}}\alpha ^{2}+{\frac {s(s+1)}{1.2}}{\frac {s(s+1)(s+2)}{1.2.3}}\alpha ^{3}+\ldots \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e48b929a763a993a73051ccc5e340c1657c0348)
partant
![{\displaystyle b_{s}^{(0)}=2\left[1+s^{2}\alpha ^{2}+\left({\frac {s(s+1)}{1.2}}\right)^{2}\alpha ^{4}+\left({\frac {s(s+1)(s+2)}{1.2.3}}\right)^{2}\alpha ^{6}+\ldots \right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2814c718d847751f8cdc1d956edd6d7a314c712d)
![{\displaystyle b_{s}^{(1)}=2\alpha \left[s+s{\frac {s(s+1)}{1.2}}\alpha ^{2}+{\frac {s(s+1)}{1.2}}{\frac {s(s+1)(s+2)}{1.2.3}}\alpha ^{4}+\ldots \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9caf038b8c701c47830c2b9724c02ebd041b8ce)