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On voit ainsi que, pour déterminer les valeurs de $b_{s}^{(i)}$ et de ses différences successives, il suffit de connaître celles de $b_{s}^{(0)}$ et de $b_{s}^{(1)}$ On déterminera ces deux quantités de la manière suivante.

Si l’on nomme $c$ le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité, on pourra mettre l’expression de $\lambda ^{-s}$ sous cette forme

$\lambda ^{-s}=\left(1-\alpha c^{\theta {\sqrt {-1}}}\right)^{-s}\left(1-\alpha c^{-\theta {\sqrt {-1}}}\right)^{-s}.$

En développant le second membre de cette équation par rapport aux puissances de $c^{\theta {\sqrt {-1}}}$ et de $c^{-\theta {\sqrt {-1}}},$ il est visible que les deux exponentielles $c^{i\theta {\sqrt {-1}}}$ et $c^{-i\theta {\sqrt {-1}}},$ auront le même coefficient, que nous désignerons par $k.$ La somme des deux termes $kc^{i\theta {\sqrt {-1}}}$ et $kc^{-i\theta {\sqrt {-1}}},$ est $2k\cos i\theta \,;$ ce sera la valeur de $b_{s}^{(i)}\cos i\theta \,;$ on aura donc $b_{s}^{(i)}=2k.$ Maintenant l’expression de $\lambda ^{-s}$ est égale au produit des deux séries

${\begin{aligned}&1+s\alpha c^{\theta {\sqrt {-1}}}+{\frac {s(s+1)}{1.2}}\alpha ^{2}c^{2\theta {\sqrt {-1}}}+\ldots ,\\\\&1+s\alpha c^{-\theta {\sqrt {-1}}}+{\frac {s(s+1)}{1.2}}\alpha ^{2}c^{-2\theta {\sqrt {-1}}}+\ldots \,;\end{aligned}}$

en multipliant donc ces deux séries l’une par l’autre, on aura, dans le cas de $i=0$,

$k=1+s^{2}\alpha ^{2}+\left({\frac {s(s+1)}{1.2}}\right)^{2}\alpha ^{4}+\ldots ,$

et, dans le cas de $i=1,$

$k=\alpha \left(s+s{\frac {s(s+1)}{1.2}}\alpha ^{2}+{\frac {s(s+1)}{1.2}}{\frac {s(s+1)(s+2)}{1.2.3}}\alpha ^{3}+\ldots \right).$

partant

$b_{s}^{(0)}=2\left[1+s^{2}\alpha ^{2}+\left({\frac {s(s+1)}{1.2}}\right)^{2}\alpha ^{4}+\left({\frac {s(s+1)(s+2)}{1.2.3}}\right)^{2}\alpha ^{6}+\ldots \right],$

$b_{s}^{(1)}=2\alpha \left[s+s{\frac {s(s+1)}{1.2}}\alpha ^{2}+{\frac {s(s+1)}{1.2}}{\frac {s(s+1)(s+2)}{1.2.3}}\alpha ^{4}+\ldots \right].$