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$n$ quantités $\alpha ,\left({\frac {d\alpha }{ds}}\right),\ldots .$ Mais on doit observer que, $s$ étant supposé fort petit, on peut négliger les termes multipliés par $s^{n},s^{n+1},\ldots ,$ ce qui réduit la suite infinie à ses $n$ premiers termes, que l’on pourra déterminer par les $n$ observations. Ces déterminations ne seront qu’approchées, et leur exactitude dépendra de la petitesse des termes que l’on néglige ; elles seront d’autant plus précises que $s$ sera plus petit et que l’on emploiera un plus grand nombre d’observations. La théorie des interpolations se réduit donc à trouver une fonction rationnelle et entière de s, qui soit telle, qu’en y substituant pour $s$ le nombre des jours qui correspondent à chaque observation, elle se change dans la longitude observée.

Représentons par ϐ,ϐ’,ϐ", … les longitudes observées de la comète, et par $i,i',i'',\ldots$ les nombres des jours dont elles suivent l’époque donnée ; ces nombres doivent être supposés négatifs pour les observations antérieures à cette époque. Si l’on fait

${\begin{array}{c}\displaystyle {\frac {{\text{ϐ}}'-{\text{ϐ}}}{i'-i}}=\delta {\text{ϐ}},\qquad {\frac {{\text{ϐ}}''-{\text{ϐ}}'}{i''-i'}}=\delta {\text{ϐ}}',\qquad {\frac {{\text{ϐ}}'''-{\text{ϐ}}''}{i'''-i''}}=\delta {\text{ϐ}}'',\ldots \\\\\displaystyle {\frac {\delta {\text{ϐ}}'-\delta {\text{ϐ}}}{i''-i}}=\delta ^{2}{\text{ϐ}},\qquad {\frac {\delta {\text{ϐ}}''-\delta {\text{ϐ}}'}{i'''-i'}}=\delta ^{2}{\text{ϐ}}',\ldots \\\\\displaystyle {\frac {\delta ^{2}{\text{ϐ}}'-\delta ^{2}{\text{ϐ}}}{i'''-i}}=\delta ^{3}{\text{ϐ}},\ldots \\\ldots \ldots \ldots \ldots ,\ldots \end{array}}$

la fonction cherchée sera

${\text{ϐ}}+(s-i)\delta {\text{ϐ}}+(s-i)(s-i')\delta ^{2}{\text{ϐ}}+(s-i)(s-i')(s-i'')\delta ^{3}{\text{ϐ}}+\ldots \,;$

car il est facile de s’assurer que, si l’on fait successivement $s=i,\ s=i',$$s=i'',\ldots ,$ elle se changera dans ${\text{ϐ}},{\text{ϐ}}',{\text{ϐ}}'',\ldots .$

Maintenant, si l’on compare la fonction précédente à celle-ci

$\alpha +s\left({\frac {d\alpha }{ds}}\right)+{\frac {s^{2}}{1.2}}\left({\frac {d^{2}\alpha }{ds^{2}}}\right)+\ldots ,$