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PREMIÈRE PARTIE. — LIVRE I.

En désignant donc par $v,\,v',\,v'',\cdots$ les vitesses de $m,\,m',\,m'',\cdots ,$ on aura

${\begin{aligned}\sum mv^{2}&=\mathrm {const} -\sideset {}{_{1}}\sum \cdot \sum m\left[\left(\Delta {\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left(\Delta {\frac {dy}{dt}}\right)^{2}+\left(\Delta {\frac {dz}{dt}}\right)^{2}\right]\\\\&+2\sum \int m\left(\mathrm {P} dx+\mathrm {Q} dy+\mathrm {R} dz\right).\end{aligned}}$

La quantité renfermée sous le signe $\sideset {}{_{1}}\sum$ étant nécessairement positive, on voit que la force vive du système diminue par l’action mutuelle des corps, toutes les fois que, durant le mouvement, quelques-unes des variations $\Delta \,{\frac {dx}{dt}},\Delta \,{\frac {dy}{dt}},\cdots$ sont finies. L’équation précédente offre de plus un moyen fort simple d’avoir cette diminution.

À chaque variation brusque du mouvement du système, on peut concevoir la vitesse de $m$ décomposée en deux autres, l’une $v$ qui subsiste dans l’instant suivant, l’autre $\mathrm {V}$ détruite par l’action des autres corps ; or la vitesse de $m$ étant ${\frac {\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}{dt}}$ avant cette décomposition, et se changeant, après, dans

${\frac {\sqrt {\left(dx+\Delta dx\right)^{2}+\left(dy+\Delta dy\right)^{2}+\left(dz+\Delta dz\right)^{2}}}{dt}},$

il est facile de voir que l’on a

$\mathrm {V} ^{2}=\left(\Delta {\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left(\Delta {\frac {dy}{dt}}\right)^{2}+\left(\Delta {\frac {dz}{dt}}\right)^{2}\;$

l’équation précédente peut donc être mise sous cette forme :

$\sum mv^{2}=\mathrm {const} -\sideset {}{_{1}}\sum \cdot \sum m\mathrm {V} ^{2}+2\sum \int m\left(\mathrm {P} dx+\mathrm {Q} dy+\mathrm {R} dz\right).$

20. Si dans l’équation (P) du n° 18 on suppose

${\begin{alignedat}{3}\delta x'&=\delta x+\delta x'_{1},&\qquad \delta y'&=\delta y+\delta y'_{1},&\qquad \delta z'&=\delta z+\delta z'_{1},\\\delta x''&=\delta x+\delta x''_{1},&\delta y'&=\delta y+\delta y''_{1},&\delta z''&=\delta z+\delta z''_{1},\\\cdots &\cdots \cdots \cdots ,&\cdots &\cdots \cdots \cdots ,&\cdots &\cdots \cdots \cdots ,\end{alignedat}}$

en substituant ces variations dans les expressions des variations $\delta f,\delta f',$$\delta f'',\cdots$ des distances mutuelles des corps du système, dont on a donné