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Ayant ainsi les valeurs de $x,y$ et $r$, on formera la quantité

$\mathrm {P} ={\frac {x}{\cos ^{2}\theta }}(y+hx\operatorname {tang} \theta )$

$-\mathrm {R} y\cos(\mathrm {E} -\alpha )+x\left[{\frac {\sin(\mathrm {E} -\alpha )}{\mathrm {R} }}-(\mathrm {R} '-1)\cos(\mathrm {E} -\alpha )\right]$

$-\mathrm {R} ax\sin(\mathrm {E} -\alpha )+\mathrm {R} (\mathrm {R} '-1).$

La distance périhélie ${\rm {D}}$ de la comète sera

$\mathrm {D} =r-{\frac {1}{2}}\mathrm {P} ^{2}\,;$

le cosinus de son anomalie $v$ sera donné par l’équation

$\cos ^{2}{\frac {1}{2}}v={\frac {D}{r}},$

et l’on en conclura, par la Table du mouvement des comètes, le temps employé à parcourir l’angle $v.$ Pour avoir l’instant du passage au périhélie, il faudra ajouter ce temps à l’époque si ${\rm {P}}$ est négatif, et l’en soustraire si ${\rm {P}}$ est positif, parce que, dans le premier cas, la comète s’approche du périhélie, au lieu que, dans le second cas, elle s’en éloigne.

Ayant ainsi à peu près la distance périhélie de la comète et l’instant de son passage au périhélie, on pourra les corriger par la méthode suivante, qui a l’avantage d’être indépendante de la connaissance approchée des autres éléments de l’orbite.

Détermination exacte des éléments de l’orbite, lorsque l’on connaît à peu
près la distance périhélie de la comète et l’instant de son passage
au périhélie.

On choisira d’abord trois observations éloignées de la comète ; en partant ensuite de la distance périhélie de la comète et de l’instant de son passage au périhélie, déterminés par ce qui précède, on calculera les trois anomalies de la comète et les rayons vecteurs correspondants aux instants des trois observations. Soient $v,v',v''$ ces anomalies, celles qui précèdent le passage au périhélie devant être supposées négatives ;