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vecteur étant égale à ${\frac {1}{2}}{\frac {dv}{u^{2}}},$ la première de ces équations nous apprend que cette aire est proportionnelle à cet élément, et qu’ainsi, dans un temps fini, elle est proportionnelle au temps. La dernière équation donne, en l’intégrant,

$s=\gamma \sin(v-\theta ),$

$\gamma$ et $\theta$ étant deux arbitraires. Enfin la seconde donne par son intégration

$u={\frac {\mu }{h^{2}\left(1+\gamma ^{2}\right)}}\left[{\sqrt {1+s^{2}}}+e\cos(v-\varpi )\right]={\frac {\sqrt {1+s^{2}}}{r}},$

$e$ et $\varpi$ étant deux nouvelles arbitraires. En substituant dans cette expression de $u,$ au lieu de $s,$ sa valeur en $v,$ et substituant ensuite cette expression dans l’équation $dt={\frac {dv}{hu^{2}}},$ l’intégrale de cette équation donnera $t$ en fonction de $v$ ; on aura donc ainsi $v,u$ et $s$ en fonction du temps.

On peut simplifier considérablement ce calcul, en observant que la valeur de $s$ indique que l’orbite est toute dans un plan dont $\gamma$ est la tangente d’inclinaison sur le plan fixe, et dont $\theta$ est la longitude du nœud, comptée de l’origine de l’angle $v.$ En rapportant donc à ce plan le mouvement de $m,$ on aura $s=0$ et $\gamma =0,$ ce qui donne

$u={\frac {1}{r}}={\frac {\mu }{h^{2}}}\left[1+e\cos(v-\varpi )\right].$

Cette équation est à une ellipse dans laquelle l’origine des $r$ est au foyer ; ${\frac {h^{2}}{\mu \left(1-e^{2}\right)}}$ est le demi-grand axe, que nous désignerons par $a\,;\ e$ est le rapport de l’excentricité au demi-grand axe ; enfin $\varpi$ est la longitude du périhélie. L’équation $dt={\frac {dv}{hu^{2}}}$ devient ainsi

$dt={\frac {a^{\frac {3}{2}}\left(1-e^{2}\right)^{\frac {3}{2}}dv}{{\sqrt {\mu }}\left[1+e\cos(v-\varpi )\right]^{2}}}.$

Développons le second membre de cette équation dans une série de